分式是初中代數(shù)里極為重要的內(nèi)容之一，也是歷年各地中考的熱點(diǎn)知識(shí)之一?，F(xiàn)結(jié)合近年各省市的中考試題，就其重要考點(diǎn)進(jìn)行舉例說明。

一、分式的概念

例1 若分式的值為零，則x的值為______。

分析 要使分式的值為零，只需分子為零，而分母不為零即可。

解 要使分式的值為零，只要x-2=0，且x+2≠0。解得x=2。即x的值為2。

點(diǎn)評(píng) 歷年中考都考查分式的基本概念，所以同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)一定要正確理解分式的定義，知道形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式。當(dāng)B≠0時(shí)，分式才有意義;當(dāng)B=0時(shí)，分式無意義。當(dāng)分子為零，而分母不為零時(shí)，分式的值才為零。

二、分式的基本性質(zhì)

例2 下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是()。

A.=(c≠0)B.=-1

C.= D.=

分析 考查分式的基本性質(zhì)，A選項(xiàng)分子分母都乘以不為零的數(shù)c，分式的值不變; B選項(xiàng)分子分母都除以a+b(隱含a+b≠0)，分式的值不變; C選項(xiàng)分子分母都擴(kuò)大10倍，分式值不變; D選項(xiàng)只分子乘以-1，分母不變，不符合分式性質(zhì)。

解 答案選D。

點(diǎn)評(píng) 在分式基本性質(zhì)中，須注意對(duì)“同”字的理解，它有兩層含義:(1)分子分母要同時(shí)乘以或同時(shí)除以，避免只乘分子或只乘分母的錯(cuò)誤;(2)分子分母所乘以(除以)的整式必須是同一整式。

三、分式的乘除運(yùn)算

例3 化簡(jiǎn):÷x-。

分析 利用分式的除法法則使之轉(zhuǎn)化為分式的乘法，再運(yùn)用分式乘法的法則運(yùn)算。

解 ÷x-=÷=×=。

點(diǎn)評(píng) 分式的乘除法類似于分?jǐn)?shù)乘除法。分式乘除法的法則是:分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母;分式除以分式，使除式的分子、分母顛倒位置后與被除數(shù)相乘。用字母表示分式的乘除法法則:#8226;=;÷=#8226;=。

四、分式的加減運(yùn)算

例4 計(jì)算:-。

分析 本題是異分母分式相加減，可按以下步驟進(jìn)行:第一步，通分;第二步，加減;第三步，化簡(jiǎn)。

解 原式=-===。

五、分式的混合運(yùn)算

例5 先化簡(jiǎn)代數(shù)式÷-1，然后選擇一個(gè)使原式有意義的a、b值代入求值。

分析 此題難度不大，但要注意混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，運(yùn)算結(jié)果要化成最簡(jiǎn)形式。在選取a、b的數(shù)值時(shí)，一定要保證原式有意義，而且盡量使運(yùn)算簡(jiǎn)便。

解 原式 =#8226;-1=-==，

當(dāng)a=b=1時(shí)，原式==。

點(diǎn)評(píng) 這里的a不能等于-2b、±b，否則分母的值為0，那樣，原式就沒有意義了。

六、分式求值問題

例6 若==，則=__________。

分析 令===k，則a=2k，b=3k，c=4k，代入分式可求得其值。

解 設(shè)===k，則a=2k，b=3k，c=4k，原式===。

點(diǎn)評(píng) 如果已知條件中出現(xiàn)連比的形式，可通過設(shè)其比值為k，建立分子和分母的關(guān)系式，然后經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃吻蟪龇质降闹怠?/p>

七、分式的規(guī)律探索

例7 給定下面一列分式:，-，，-，…(其中x≠0)。

(1)把任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第6個(gè)分式。

解析 (1)把任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式，所得商都是-。

(2)仔細(xì)觀察分子與分母，分子所含字母是x，分母是y，x的指數(shù)是從3開始的連續(xù)奇數(shù)，y的指數(shù)是從1開始的連續(xù)整數(shù)，分式本身的符號(hào)是第奇數(shù)個(gè)為正號(hào)，第偶數(shù)個(gè)為負(fù)號(hào)。故第n個(gè)分式是(-1)n+1#8226;，故第6個(gè)分式是-。

點(diǎn)評(píng) 規(guī)律探索是近幾年來中考命題的熱點(diǎn)，主要考查同學(xué)們的觀察能力、歸納能力和合情猜想能力。解答這類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，對(duì)于分式而言，主要觀察分子和分母的特征與變化規(guī)律。

八、分式的應(yīng)用

例8 A玉米試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為a米的正方形減去邊長(zhǎng)為1米的蓄水池后的余下部分;B玉米試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為(a-1)米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的玉米都收獲了600千克。

(1)哪種玉米田的單位面積產(chǎn)量高?

(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍?

分析 要解決第(1)小問，可先利用正方形的面積公式分別求出其面積，即可求出各自的單位面積產(chǎn)量，進(jìn)而利用作差法來比較它們的大小;對(duì)于第(2)小問，可以利用作商的辦法來解決。

解 (1)A玉米試驗(yàn)田的面積是(a2-1)米2，單位面積的產(chǎn)量是千克/米2;B玉米試驗(yàn)田的面積是(a-1)2米2，單位面積的產(chǎn)量是千克/米2。

因?yàn)閍2-1-(a-1)2=2(a-1)，而a-1>0，所以0<(a-1)2

所以<。即B玉米田的單位面積產(chǎn)量高。

(2)因?yàn)椤?×==。

所以高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的倍。

點(diǎn)評(píng) 分式在我們的生活中經(jīng)常出現(xiàn)，同學(xué)們學(xué)習(xí)分式知識(shí)后一定要留心身邊的分式問題，以便利用分式幫助我們解決更多的問題。

九、解分式方程

例9 解方程:-=1。

分析 最簡(jiǎn)公分母是x(x-1)，所以在方程的兩邊同乘以x(x-1)，約去分母，化分式方程為整式方程。

解 去分母，得x2-2(x-1)=x(x-1)，

去括號(hào)，得x2-2x+2=x2-x。

移項(xiàng)，合并，得-x=-2，系數(shù)化為1，得x=2。

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的根，即2是原方程的根。

點(diǎn)評(píng) 檢驗(yàn)是解分式方程必不可少的步驟，求解時(shí)一定不能忘記。

十、利用分式方程解決實(shí)際問題

例10 節(jié)日期間，文具店的一種筆記本8折優(yōu)惠出售。某同學(xué)發(fā)現(xiàn)，同樣花16元錢購(gòu)買這種筆記本，節(jié)日期間正好可比節(jié)日前多買一本。節(jié)日前，這種筆記本每本的售價(jià)是多少元?

分析 只要抓住“打折優(yōu)惠后比沒打折多買一本”這個(gè)相等關(guān)系即可列出方程。

解 設(shè)節(jié)日前這種筆記本每本的售價(jià)是x元，由題意得-=1，解得x=4。經(jīng)檢驗(yàn):x=4是原方程的根，且符合題意。

答:節(jié)日前這種筆記本每本的售價(jià)是4元。

點(diǎn)評(píng) 用分式方程解決實(shí)際問題與用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本思想方法是一致的，不同的是表達(dá)式與數(shù)量之間關(guān)系的代數(shù)式不受整式的限制。