王伯年， 王宏光， 葛長清

（1. 上海理工大學(xué)，上海 200093；2. 上海第二工業(yè)大學(xué)，上海 211209）

軸測投影在技術(shù)制圖（機(jī)械制圖和建筑制圖等）、電腦圖形學(xué)、繪畫與廣告等諸多領(lǐng)域均有著重要的應(yīng)用，尤其在新版高中數(shù)學(xué)中，將軸測投影列入教學(xué)內(nèi)容，使得學(xué)習(xí)與應(yīng)用軸測投影的對象大為增加，其重要性更顯突出。

自1853 年發(fā)現(xiàn)Pohlke 定理以來，軸測投影在理論與應(yīng)用方面已取得了長足的進(jìn)展，已出版了一些與之有關(guān)的專著或其他著作[1-4]。然而，有關(guān)軸測投影的一些重要問題，如對正軸測投影可以合理任選2 個給定參數(shù)的問題，對斜軸測投影可以合理任選4 個給定參數(shù)的問題，似乎已有的分析尚不夠充分和完備，有的還有些失誤。其實(shí)，任一問題涉及n 個參數(shù)，而有k 個方程約束這些參數(shù)的取值時，首先應(yīng)合理選定(n k? )個參數(shù)，再用這k 個約束方程將其余的k 個參數(shù)予以確定。從此基本觀點(diǎn)出發(fā)，軸測投影6 個軸測參數(shù)確定的問題，即可迎刃而解。

對于正軸測投影，投影面的法線方向就是投影線的方向，這導(dǎo)致其軸間角僅是軸向伸縮系數(shù)的函數(shù)，這一特點(diǎn)是斜軸測投影所不具備的。因此，本文專論正軸測投影，斜軸測投影的問題將在另文中論述。

1 軸測投影的基本概念與基本問題

研究軸測投影的目的是將三維的幾何物體藉平行投影將其投影到單一的投影面上，并要求投影面上的圖形具有直觀性和度量性。直觀性是指看了投影面上的平面圖形大致可以了解到三維形體的形狀；度量性是指投影面上的平面圖形與三維形體之間的幾何尺寸有對應(yīng)關(guān)系。

基本上有二種方法可達(dá)到以上的目的：基于幾何變換的矩陣法[5]和基于投影、坐標(biāo)系和向量的投影解析法。前者易于陷入數(shù)字概念和運(yùn)算之中，不易分清什么是約束條件和約束方程，不宜為本文所采用：后一方法，直接與軸測投影的目的相通，概念清晰，數(shù)學(xué)推導(dǎo)也十分簡單，是應(yīng)該采用的方法。

因?yàn)檩S測投影有度量性的要求，必需首先依靠坐標(biāo)系建立三維形體的數(shù)形結(jié)合問題。確定三維形體最簡單的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系，設(shè)其為o xyz? ，從此坐標(biāo)系原點(diǎn)o 引一有向線段指向形體任一點(diǎn)p，則op 向量可表示為

上式中 x y z、 、 分別為P 點(diǎn)沿x 軸、y 軸、z軸的坐標(biāo)，1e 、2e 、3e 分別為各坐標(biāo)軸的單位向量。式（1）將點(diǎn)p 的坐標(biāo)與op 向量聯(lián)系起來。

稱上式的p、q、r 為ox、oy、oz 軸的軸向伸縮系數(shù)。此外，尚需確定o′ x ′、o′ y ′、o′ z ′之間的夾角，設(shè)在投影面上o′ x ′與o′ y ′的夾角為θ1、o′ y ′與o′ z ′的夾角為θ2、o′ z ′與o′ x ′的夾角為θ3（從一坐標(biāo)軸逆時針轉(zhuǎn)向另一坐標(biāo)系的夾角為正，反之為負(fù)）并分別稱θ1、θ2、θ3為相應(yīng)坐標(biāo)軸之間的軸間角。從幾何直觀可知，應(yīng)有θ1+θ2+θ3=2π。

如果確定了p、q、r 和1θ 、2θ 、3θ ，那么o xyz? 和o′-x′ y′ z′之間的對應(yīng)關(guān)系也就確 定了，軸測投影的度量性問題和基本問題也就解決了。

2 正軸測投影基本方程組的建立

圖上的點(diǎn)o′是原坐標(biāo)系原點(diǎn)o 的投影點(diǎn)（見圖1），投影面與ox、oy、oz 相截的點(diǎn)，既是形體上的點(diǎn)x、 y 、 z，又是它們各自的投影點(diǎn)x′、y′、z′。只要把點(diǎn)o 在投影面上的投影點(diǎn)o′確定了，ox、oy、oz 各自的投影線o′ x ′、o′ y ′、o′ z ′也就確定了，而且o′ x ′、o′ y ′、o′ z ′的延長線，就是ox、oy、oz 投影后的新坐標(biāo)軸線。

在△oo′ x (也即△oo′ x ′)中，oo′與ox 的夾角為α1，因o′ x (也即o′ x ′)垂直于oo′，ox 與o′ x ′ 的夾角為( π /2 ? α1)。對此直角三角形應(yīng)有

也即

對于△oo′ y (也即△oo′ y ′)和△oo′ z （也即△oo′ z ′），同理有

式(5) 、 式(7) 和 式(9) 相 加， 并 考 慮 到n ?n=cos2α1+cos2α2+cos2α3=1，即可得到

上式是制約p、q、r 取值的一個約束方程。由于sin 1α ≤ ，由式(4)、式(6)和式(8)可知，應(yīng)有

再考慮到式(10)和式(11)，應(yīng)有

式(11)和式(12)就是p、q、r 合理取值時，所應(yīng)遵守的限制條件。 標(biāo)系xy 、yz 、zx 三個坐標(biāo)平面上的三個直

圖1 建立正軸測投影基本方程組的圖示

為確定θ1、θ2、θ3還應(yīng)考慮在為o ? xyz坐角三角形△oxy、△oyz、△ozx 投影到投影面為△o′ x ′ y ′、△o′ y ′z ′、△o′ z ′x ′時的面積關(guān)系： 一平面上的圖形正投影為另一平面的圖形，原圖形的面積乘二平面之間夾角的余弦（此夾角又等于此二平面法線的夾角）等于投影圖形的面積。 因此，對△oxy 和△o′ x ′ y ′而言，xy 平面與投影面的夾角為α3，因此有

上式中 θ1為o′ x ′與o′ y ′之間的軸間角。由上 式可得

以式(4)、式(6)和式(9)代入上式，得到

對于△oyz 與△o′ y ′z ′、△ozx 與△o ′z ′x ′同理可得

由式(13)、式(14)和式(15)可以看到，對于正軸測 影投，軸向角θ1、θ2、和θ3僅是p、q、r 的 函數(shù)，這是正軸測投影異于斜軸測投影的一個顯著特點(diǎn)。

因此，式(10)、式(13)、式(14)和式(15)這4 個方程，構(gòu)成了約束p、q、r、θ1、θ2和θ3取 值的基本方程組。顯然，正軸測投影6 個參數(shù)中，可以合理地給定的參數(shù)數(shù)為2。

對式(13)、式(14)和式(15)，分別平方后相加，并考慮式(10)，得到

將上式與式(10)結(jié)合，得到

式(16)或式(17)，可以取代上述4 個方程中一個，但它們在形式上均較上述4 個方程更為復(fù)雜，而不宜在正軸測投影中采用，這是正軸測投影異于斜軸測投影的另一顯著特點(diǎn)。

3 正軸測測投影基本方程組的應(yīng)用

3.1 正等測軸測投影

正等測軸測投影是國際標(biāo)準(zhǔn)[6]和國家標(biāo)準(zhǔn)[7]重點(diǎn)推薦的3 種軸測投影之一，其含義是

上式給定了二個約束條件，即3 個軸向伸縮系數(shù)是相等的。此時，由式(10)可得

同時，此時有θ1= θ2= θ3= θ，由式(13)，或式(14)，或式(15)可得

以上θ 的二值中，θ =120°是應(yīng)取之值，因3θ=360°才符合θ1+θ2+θ3=360°的幾何要求。

3.2 正二測軸測投影

這也是ISO 和GB 重點(diǎn)推薦采用的軸測投影之一，正二測的含義是

以上式代入式(10)，可得

在p、q、r 之值確定后，由式(13)、式(14)和式(15)，可得

由上式可知，所求出的三軸間角之和為360°，這也是考慮到θ 的合理取值而得到的。

3.3 給定二軸向伸縮系數(shù)的軸測投影

為簡化有關(guān)方程的書寫與推導(dǎo)，用下標(biāo)法將式(10)改寫為

上式的 i、j、k 下標(biāo)，按1→2→3→1→2的順序取值，如i=1， ri= p， rj= q， rk= r；如 i = 2, ri= q , rj= r ,rk= p ；如 i = 3, ri= r, rj= p, yk= q 。 給定 ri和 rj時，按式(24)應(yīng)有

當(dāng) ri、 rj、 rk確定后，對于軸向角，可用式(13)、式(14)、式(15)的統(tǒng)一關(guān)系式求出

上式下標(biāo) i、j、k 的含義與對式(24)所述的相同。

3.4 給定二軸間角的軸測投影

當(dāng)θi和θj給定時，對于θi按式(26)應(yīng)有

由上式可得

對于θj，與式(26)相應(yīng)有

由上式可得

式(27)等于式(28)，化簡后可得

上式是給定 θi和θj后，求出 rj的解析解。rj求出后，可按式(27)求出 ri，再按式(25)求出 rk。至于θk，即可按

求出，也可更簡單地按θk= 2π ? θi?θj求出。

3.5 給定一軸向伸縮系數(shù)和一軸間角的軸測投影

對于式(26)，有3 種給出此2 參數(shù)的方法：

（1）給定θi和 ri

此時，有

由上式可得

解上式可得

ri和 rj已知后，由式(25)求出 rk2；然后由相應(yīng)式(26)的公式求出θj和θk。

（2） 給定θi和 rj

與導(dǎo)出式(31)的方法相同，可得

（3） 給定θi和 rk

由式(26)可得

化簡上式可得

由上式可得

由以上分析可以看出：在給定2 個參數(shù)的各種情況下，確定正軸測投影的其他參數(shù)，均有解析解。

4 結(jié) 論

（1） 基于投影、坐標(biāo)系和向量的基本概念和基本性質(zhì)，可以十分簡單地推導(dǎo)出約束正軸測投影6 個參數(shù)取值的4 個約束方程，并由此得到求解正軸測投影諸參數(shù)的基本方程組。

（2） 對于正軸測投影，可以合理地任意給定2 個軸測參數(shù)，其余的4 個參數(shù)可由基本方程組確定。

（3） 本文給出了在給定2 個參數(shù)的各種情況下，確定其他參數(shù)的解析解，這些解非但推導(dǎo)正確，并通過數(shù)值計算證實(shí)了這些解析解的正確性。

[1] [前蘇聯(lián)]格拉祖諾夫. 軸測投影學(xué)[M]. 徐良佐譯. 北京： 高等教育出版社, 1956. 77-82.

[2] 徐宏文. 軸測投影[M]. 天津： 天津大學(xué)出版社, 1986. 41-46.

[3] 包太茲. 軸測投影理論與應(yīng)用[M]. 李世銓譯. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 1988. 41-49.

[4] 葉玉駒, 簡召全. 高等畫法幾何[M]. 北京： 國防工業(yè)出版社, 1990. 435-448

[5] David F Rogers. Mathematical elements for computer graphics (2nded.)[M]. New York： McGraw-Hill, 1990. 141-206.

[6] ISO 5456-3： 1996 [E]. Technical drawings-projection methods-part 3： Axonometric representation[S].

[7] GB/T 14692-93 技術(shù)制圖 投影法[S].