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        一種新的Multiquadric 擬插值

        2010-01-01 01:44:18陳榮華韓旭里吳宗敏
        圖學學報 2010年3期
        關鍵詞:再生性凸性插值

        陳榮華 , 韓旭里, 吳宗敏

        (1. 湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院,湖南 湘潭 411201; 2. 中南大學數(shù)學科學與計算技術學院,湖南 長沙 410083;3. 復旦大學數(shù)學科學學院,上海 200433)

        Multiquadric (MQ)是Hardy 于1968 年提出來的一種徑向基函數(shù)(radial basis function)[1]。Hardy的一篇關于MQ 的論文[2]于1971 年發(fā)表后,MQ逐漸引起各國專家學者的研究興趣,到1988 年,MQ 已經在大地測量學(geodesy)、地球物理學(geophysics)、測繪學(surveying and mapping)、攝影測量學(photogrammetry)、遙感與信號處理(remote sensing and signal processing)、地理學(geography)、地質與采礦(geology and mining)、數(shù)字地形模型(digital terrain models)以及水文學(hydrology)等諸方面都得到了應用[1]。自從Hardy[1]及Kansa[3-4]的綜述性文章發(fā)表后,越來越多的專家學者對MQ 進行了深入細致的理論研究和范圍廣泛的實際應用,出現(xiàn)了許多關于MQ 的理論和應用的論文。

        Franke 在其評論文章[5]中指出:就精度 (accuracy)、穩(wěn)定性(stability)、有效性 (efficiency)、內存需要(memory requirement) 和易于實現(xiàn)(ease to implementation) 而言,MQ 在所有29 種散亂數(shù)據(jù)插值格式中首屈一指。

        應用MQ 求解微分方程的文章也很多,如Wu 用MQ 擬插值求解雙曲型(hyperbolic)方程[6],Hon和Mao用MQ 求解拋物型(parabolic)方程[7],F(xiàn)edoseyev、Friedman 和Kansa 用MQ 求解橢圓型(elliptic)方程[8]都取得了很好的結果。

        MQ 擬插值目前已知的有4 種,即,Beatson 和Powell 的LA、LB和 LC[9]以及Wu 和Schaback的 LD[10]。

        本文給出了一種新的MQ 擬插值,分析了其具有的性質以及其逼近度。根據(jù)本文給出的數(shù)值實驗可知,該擬插值確實具有良好的逼近精度和保形性。此外,它還至少可用于求解雙曲型和拋物型方程,關于這一部分內容將在以后的論文中介紹。

        1 Multiquadric 擬插值的構造及其性質

        Beatson 和Powell 于1992 年提出了3 種Multiquadric (MQ)擬插值,即 LA、 LB和 LC,并給出了它們的逼近階[9]。其中,LB是常數(shù)再生的,LC是線性再生的;而 LA不是常數(shù)再生的,LB不是線性再生的。

        Wu 和Schaback 指出AL 和BL 不具備保線性性和保凸性,證明了CL 具備保線性性和保凸性, 構造了另一類具備保線性性和保凸性的MQ 擬 插值DL ,并給出了其逼近階[10]。

        由于DL 的逼近精度不比CL 的逼近精度低,而且,在構造DL 時不需要給定端點處的一階導數(shù)而在構造CL 時卻要給定端點處的一階導數(shù),所以,從構造擬插值需要條件的多少來衡量,DL明顯優(yōu)于CL 。

        這里 ψj(x), j = 0, 1,…,n是某些選定的函數(shù)。

        在構造擬插值之前,先給出幾個定義:定義1 若擬插值 )(* xf 具有性質

        其中 C 是任意給定的常數(shù),則稱該擬插值在[ x0,xn]上是常數(shù)再生的(constant reproducing)。

        定義2 對任何 ,p q R∈ ,當 qpxxf +=)( 時,擬插值 )(* xf 滿足 qpxxf +=)(*,則稱該擬插值在[ x0,xn]上具有線性再生性(linear reproducing)。

        由以上定義可知,具有線性再生性的擬插值必定是常數(shù)再生的。

        定義3 對于單調增加(減少)的數(shù)據(jù)jf , j = 0, 1,…,n ,如果擬插值 f*(x)是單調增加(減少)函數(shù),則稱該擬插值在 ],[0nxx 上具有保 單調性(preserving monotonicity)。

        取如下形式的ψj(x)

        得到擬插值 f*(x)具有以下性質。

        定理1若取 則由式(1)、式(3)定義的擬插值 )(* xf 在 ],[0nxx 上具有線性再生性,而且, )(* xf 在 ],[0nxx 上可改寫為如下3 種等價的形式

        此外,在 ],[0nxx 上,有

        而且,更一般地,有

        證 明首先,由式(1)及式(3)可得

        再由式(4)及式(6)可知式(8)成立。通過計算不難發(fā)現(xiàn)式(7)、式(8)與式(9)三者等價。對式(8)兩邊關于x 求一階、二階和k 階導數(shù),就分別得到式(10)、式(11)及式(12)。要證明線性再生性,只要證明

        由式(9)易知式(13)成立,由式(9)及式(5)可知式(14)成立。定理證畢。

        注1由上述定理的證明過程可以看出,式(7)~式(12)及常數(shù)再生性成立,不需要式(5)成立這一條件。

        定義4由式(1)、式(3)、式(4)、式(5)、式(6)及下式

        定義的擬插值就是在本文中定義的新的MQ 擬插值。

        由上述定義得到的MQ 擬插值具有如下性質:

        定理 2由定義4 得到的MQ 擬插值 f*(x)在 [ x0,xn]上具有線性再生性、保單調性,并且,在 [ x0,xn]上有式(7)~式(12)成立。

        證 明由定理1,只要證明由式(1)、式(3)、式(4)、式(5)、式(6)及式(15)定義的MQ 擬插值 f*(x)在 [ x0,xn]上具有保單調性就可以了。Wu 和Schaback[10]已經證明了。

        對j =1,…, n ?1, 有 ?1 ≤ φ ′j( x) ≤φ ′j?1( x) ≤1而由式(5),有

        因而

        對j = 0, 1,…, n ?1, 都有φ ′j( x) ?φ ′j+1( x) ≥ 0

        最后,由式(10)就完成了定理的證明。

        則 對 任 何 實 數(shù) c > 0, x∈[x0,xn]及 函 數(shù)f ( x)∈ C2(x0,xn),由定義4 得到的MQ 擬插值f*(x)滿足

        其中

        k0, k1,k2,k3是不依賴于h 和c 的常數(shù)。

        證 明由式(9),有 其中1Δ 及2Δ 分別為一階和二階差商算子,由f ( x)∈ C2(x0,xn)可知,上述一階和二階差商都是有界的。若用 )(xL 表示關于 )(xf 的與 )(* xf 具有 相同已知數(shù)據(jù)的分段線性插值,則

        其中

        于是

        Wu 和Schaback 在文獻[10]中給出了

        因此,又有

        于是,式(16)成立。

        注2定理3 的證明中利用了如下結論:當 x∈ [ x0,xn]時,有

        2 算 例

        考慮對函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間 [0, 2π]上的MQ 擬插值。

        圖1 h = 時MQ 擬插值的計算結果

        圖2 h =時MQ 擬插值的計算結果

        此外,就函數(shù)f(x)= cos(x)在區(qū)間 [0,2π]上的MQ 擬插值進行了類似的數(shù)值實驗,得到的結論與上述結論類似,相應的誤差向量的無窮范數(shù)分別 為 0.021854, 0.0054496, 5. 3476× 10?5和2. 7685× 10?5。

        3 結 論

        通過分析發(fā)現(xiàn):由式(1)、式(3)、式(4)、式(5)及式(6)定義的擬插值在所討論的區(qū)間上具有線性再生性,且式(7)~式(12)成立。由上述定義的擬插值若還滿足式(15),那么它就是本文所介紹的一種新的MQ 擬插值,它除了具有上述擬插值所具有的性質外,還具有保單調性,而且其逼近誤差可用式(16)來估計。

        數(shù)值實驗的結果證實了該擬插值確實具有良好的逼近精度和保形性。

        [1] Hardy R L. Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of discovery 1968-1988 [J]. Computers Math. Appl., 1990, 19(8/9): 163-208.

        [2] Hardy R L. Multiquadric equations of topography and otherirregular surfaces [J]. Geophysical Res., 1971, 76: 1905-1915.

        [3] Kansa E J. Multiquadric-a scattered data approximation schemewith applications to computational fluid dynamics, Ⅰ, Surface approximations and partial derivative estimates [J]. Computers Math. Appl., 1990, 19(8/9): 127-145.

        [4] Kansa E J. Multiquadric-a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid dynamics, Ⅱ, solution to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations [J]. Computers Math. Appl., 1990, 19(8/9): 147-161.

        [5] Franke R. Scattered data interpolation: test of some methods [J]. Math. Comput., 1982, 38: 181-200.

        [6] Wu Z M. Dynamically knots setting in meshless method for solving time dependent propagations equation [J]. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 2004, 193: 1221-1229.

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        [8] Fedoseyev A I, Friedman M J, Kansa E J. Improved multiquadric method for elliptic partial differential equations via PDE collocation on the boundary [J]. Computers Math. Appl., 2002, 43: 439-455.

        [9] Beatson R K, Powell M J D. Univariate multiquadric approximation: quasi-interpolation to scattered data [J]. Constructive Approximation, 1992, 8: 275-288.

        [10] Wu Z M, Schaback R. Shape preserving properties and convergence of univariate multiquadric quasi-interpolation [J]. ACTA Math. Appl. Sinica, 1994, 10(4): 441-446.

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