摘 要 本文對復(fù)變函數(shù)求極限問題作了較系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，并通過例題解析了這些方法。

關(guān)鍵詞 復(fù)變函數(shù) 極限 方法

中圖分類號O174.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科書中，沒有對復(fù)變函數(shù)極限的求法作詳細(xì)的討論，而主要把復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為它的實(shí)部和虛部，即兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的極限問題來討論。但對許多復(fù)變函數(shù)而言，寫出它的實(shí)部和虛部都比較麻煩，從而增加了求極限的復(fù)雜性。針對此問題，本文給出了幾種求復(fù)變函數(shù)極限的常規(guī)方法，并通過例題解析了這些方法。

1 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)求極限

設(shè) ， ， ，

則

。

2 利用復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性

利用復(fù)變初等函數(shù)的連續(xù)性(如: 、(正整)、、、、 在整個(gè)復(fù)平面均連續(xù); 、(不是正整數(shù)) 在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)外處處連續(xù)等等)，以及復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性滿足四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算，可知如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)是由復(fù)變初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和初等運(yùn)算構(gòu)造的，我們可先判別它在極限點(diǎn)的連續(xù)性，如果連續(xù)，則極限等于函數(shù)在極限點(diǎn)的函數(shù)值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在點(diǎn) z=0連續(xù)，且僅當(dāng)(k為任意整數(shù))時(shí)，cosz=0 ，所以 在點(diǎn) z=0連續(xù)，從而 。

3 利用等價(jià)無窮小求極限

利用一些復(fù)變函數(shù)的泰勒展開式，我們可以證明有些實(shí)函數(shù)的等價(jià)無窮小在復(fù)變函數(shù)中也成立。如:當(dāng) z→0時(shí)，

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

這里我們給出和的證明:根據(jù)sinz 的泰勒展開式知 ，所以 ， 。

例2 求 。

解。

注:和實(shí)函數(shù)一樣，和或差中的項(xiàng)不能用等價(jià)無窮小代替。

4 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限

復(fù)變函數(shù)也有洛必達(dá)法則，但與實(shí)函數(shù)相比稍稍有點(diǎn)差別

例3 求 。

解 顯然當(dāng)z→0 時(shí)，是未定式。所以

例4 求

解

我們知道:若z0 是 的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)，則 分別為 、 和既不存在也不為 。

例5 求 。

解 因?yàn)樵趜=0的某去心領(lǐng)域內(nèi)，有洛朗展開式

，從而z=0是的本性奇點(diǎn)，所以 既不存在也不為。

參考文獻(xiàn):

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