摘要 本文對球面坐標系下三重積分積分限的確定給出了詳細講解， 并提供了三種思路。另外，本文還給出了在不用畫圖的情況下，確定三重積分的積分限的所謂“求圍定頂”方法。

關(guān)鍵詞 三重積分;積分限;球面坐標;投影;頂面

中圖分類號O172文獻標識碼A文章編號1673-9671-(2009)111-0093-01

三重積分積分限的確定一直是教學的難點。很多教科書中對直角坐標系下和柱面坐標系下積分限的確定都給出了比較詳細的講解，而對球面坐標系下積分限的確定沒有給出詳細講解，而是直接給出積分限，不少學生由于不知緣由，往往感到很困惑。另外，我們都知道大多數(shù)高等數(shù)學教科書上三重積分的計算需先畫出積分區(qū)域的立體圖形，才能確定積分限，這會讓不少畫不出圖形的同學望而卻步，特別地，有一些積分空間區(qū)域還不易畫出。其實，對于有些三重積分來說，可以不用畫圖，照樣可以確定積分限，這種方法我們稱之為“求圍定頂”方法。

1 球面坐標系下積分限的確定

下面我們將給出球面坐標系下積分限是如何確定的。我們都知道三重積分積分限的確定關(guān)鍵是如何用坐標變量的不等式組來表示積分區(qū)域。根據(jù)坐標變量的先后確定順序，可以提供三種思路。下面我們通過范例來說明。

例1 計算 ，其中積分區(qū)域

解法一 步1:先確定的范圍。由于內(nèi)的點的值從0到之間都可取到，故 ;

步2:對任意固定的值，確定的范圍。對任意固定的 用 這個半平面去截，得一扇形截面 。在扇形截面 內(nèi)，的范圍均為: 。

步3:對任意固定的值和值，確定 的范圍。對任意固定的 和，即在扇形截面內(nèi)，當 固定為時，均從0變化到1 ，所以 。

從而

，

所以

。

解法二 步1:先確定 的范圍。由于內(nèi)的點的 值從0到 之間都可取到，故 ;

步2:對任意固定的值，確定的范圍。對任意固定的 ，用 這個圓錐面去截 ，得一錐形截面 。在錐形截面 內(nèi)， 的范圍均為: 。

步3:對任意固定的值和值，確定的范圍。對任意固定的和 ，即在錐形截面 內(nèi)，當固定為 時， 均從0變化到 1，所以 。

從而

，

所以

。

解法三 步1:先確定 的范圍。由于 內(nèi)的點的 值從0到 1之間都可取到，故 ;

步2:對任意固定的值，確定的范圍。對任意固定的 ，用 這個球面去截 ，得一球面截面 。在球面截面 內(nèi)， 的范圍均為: 。

步3:對任意固定的值和值，確定 的范圍。對任意固定的和 ，即在球面截面 內(nèi)，當固定為 時， 均從0變化到 ，所以 。

從而

，

所以

。

2 用“求圍定頂”法確定積分限

我們都知道三重積分可以化為“先一后二”的累次積分來計算。如果我們能夠確定三重積分的積分區(qū)域在坐標面(如: 坐標面)上的投影區(qū)域 ，以及積分區(qū)域內(nèi)當和固定后的變化范圍 (即:積分區(qū)域的下頂面 和上頂面 )，則我們可將三重積分化為“先一后二”的累次積分:

。

所謂“求圍定頂”法是在不用畫圖的情況下確定投影區(qū)域 (即“求圍”)和下頂面 與上頂面 (即“定頂”)。下面我們通過范例來說明:

例2 化三重積分 為三次積分，其中積分區(qū)域 是由曲面 及 所圍成的閉區(qū)域。

解 步一:先求投影區(qū)域 (求圍)。根據(jù)空間解析幾何的知識，我們可聯(lián)合兩個曲面方程 和 消掉來得到在 坐標面上的投影區(qū)域 的邊界曲線: 。從而得投影區(qū)域 : 。

步二:再確定下頂面 和上頂面(定頂)。 根據(jù)二元函數(shù)的定義可知:對于投影區(qū)域 的任意一點 ，二元函數(shù) 所表示的曲面上只有唯一一個點 與之對應，通俗地來講，我們說曲面 是呈上下張開的。所以這里曲面和 均是呈上下張開的。再由 的投影區(qū)域 : 可知這兩個曲面在投影區(qū)域內(nèi)部沒有交點，故兩張曲面 和 中其中一張是上頂面，而另一張則是下頂面。我們可在內(nèi)任意取一點，比較兩個曲面在這一點的函數(shù)值大小即可得知上下頂面。如這里取點 ，便可知 是下頂面，而 是上頂面。

從而化三重積分為如下三次積分:

注:如果積分區(qū)域是由曲面 和 所圍成的閉區(qū)域，則我們應求投影區(qū)域 和左頂面與右頂面，依次類推。

參考文獻

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[3]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第二版下冊)[M]. 北京:高等教育出版社，1991.