勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的重要定理，其應(yīng)用極其廣泛，且涉及到的知識點多，內(nèi)容多。除正確使用勾股定理外，還應(yīng)注意以下幾點:

一、要注意已知條件

例1:在邊長為整數(shù)的ΔABC中，AB〉A(chǔ)C，若AC=4，BC=3，求AB的長。

錯解:ΘAB〉A(chǔ)C〉Bc，由勾股定理得 AB2=AC2+BC，求得AB=5

分析:此題沒有指明是直角三角形，因此只能用三角形三邊的關(guān)系定理來解決問題，錯用勾股定理是由于思維定勢造成的，以為三邊中有3、4則第三邊必為5的觀點是錯誤的。

矯正:從AC〈AB〈Ac+BC

得 4

∴AB的長為5或6

錯解反思:運用勾股定理，求邊長的前提條件是在直角三角形中，沒有認真審題或思維定勢是造成錯誤解題的主要原因，這是基礎(chǔ)較好的學(xué)生經(jīng)常出的錯誤。

二、要注意原定理與逆定理的區(qū)別

例2:判斷線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形?

a=7 b=24 c=25

錯解:Θ72+242=252 即 a2+b2=c2

∴依勾股定理知，由a，b，c組成的三角形是直角三角形。

分析:這個結(jié)論的依據(jù)顯然是錯誤的，須知勾股定理的前提是在直角三角形中。

結(jié)論是a2+b2=c2(a，b是直角邊，c是斜邊)

表明勾股定理是直角三角形中的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理才是直角三角形的判定定理，其前提是三角形的三邊具有a2+b2=c2的關(guān)系，結(jié)論是該三角形為直角三角形，且∠c=90°。

矯正:Θ72+242=252 即a2+b2=c2

∴依勾股定理的逆定理知，由a，b，c組成的三角形是直角三角形，且∠c=90°

錯解反思:原定理和逆定理的區(qū)別就是題設(shè)和結(jié)論互換，只有在平時的學(xué)習(xí)過程中，理解它們的區(qū)別，掌握它們的區(qū)別，才能在解決數(shù)學(xué)問題時正確使用，不出差錯。

三、要注意防止漏解

例3:在RtΔABC中，a=3，b=4，求c

錯解:由勾股定理有c2=a2+b2=25，從而c=5

分析:上述解答錯在題目中沒有明確哪個角為直角，因而默認∠c為直角是片面的，事實上由于a〉b，知∠B也可能為直角，故本題解答遺漏了這一種情況，此時c=b2-a2=42-32=7

因此正確答案是5或7

矯正:在RtΔABC中，Θb〉a

當(dāng)∠B為直角時，由勾股定理得:b2=a2+c2，∴c=b2-a2=7

當(dāng)∠c為直角時，由勾股定理得:c=a2+b2=5

∴ 綜上所述 c=5或7

錯誤反思:解題后要反思解題結(jié)果的嚴(yán)謹性、周密性、合理性。做到不遺漏、不重復(fù)結(jié)論。

四、注意正逆定理合用

例4:如圖1，在ΔABC中，AD是高，且AD2=BD#8226;CD

求證:ΔABC為直角三角形

分析:在解題中，我們常將勾股定理及其逆定理結(jié)合使用，一個是性質(zhì)，一個是判定。當(dāng)然在具體運用時，到底是先用性質(zhì)，還是先用判定，要視具體情況而言。

證明:在ΔABC中，AD是高

由勾股定理得:AB2=BD2+AD2AC2=AD2+CD2

∴AB2+AC2=BD2+2AD2+CD2

又 ΔABD∽ΔCAD∴AD2=BD∽CD

∴AB2+AC2=(BD+CD)2

即 AB2+AC2=BC2

根據(jù)勾股定理的逆定理可知ΔABC為直角三角形，∠BAC=90°。

五、注意圖形的多種情形

例5:已知△ABC中，AB=10，AC=12，BC邊上的高AD=8，求BC的長。

錯解:如圖2，在直角△ABD和直角△ADC中

根據(jù)勾股定理，得

BD=AB2-AD2=102-82=6

DC=AC2-AD2=122-82=45

∴ BC=BD+DC=6+45

剖析:上述解答是不完整的。它只考慮了高AD在△ABC的內(nèi)部情形(如圖2)，而忽視了高AD在△ABC的外部情形(如圖3).在圖3中易求得 BC=DC-BD= 45-6

本題的正確答案是:BC的長為:6+45 或45-6。

錯解反思:認真審題，周密思考，是解答此類題目的重要步驟。因此周全地畫出幾何圖形是得出正確答案的關(guān)鍵。

六、要注意創(chuàng)造條件應(yīng)用

例6:如圖，在ΔABC中∠c=90°，D是AB的中點DE⊥DF，DE，DF分別交AC，BC于E，F(xiàn)，求證:EF2=AE2+BF2

解析:因為EF，AE，BF不是一個三角形的三邊，所以要證明結(jié)論成立，必須作適當(dāng)?shù)妮o助線。把結(jié)論中的三條線段遷移到一個三角形中，而后再證明與EF相等的邊所對的角為直角即可，為此，喧長ED到G，使DG=DE，連結(jié)BG、FG則易證BG=AE，GF=EF

∠DBG=∠DAE=∠BAE，由題設(shè)易知∠ABC+∠BAC=90°

故有∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°

在Rt△FBG中，由勾股定理有FG2=BF2+BG2

從而EF2=AE2+BF2

解題反思:作好輔助線，幫助我們解決求證的內(nèi)容，是幾何證明題中常用的，也是重要的方法，當(dāng)然也是學(xué)習(xí)的難點。認真分析已知條件，結(jié)合一些定理的基本圖形，是我們作出正確輔助線的依據(jù)。