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        把握結(jié)構(gòu) “恰當(dāng)”構(gòu)造
        ——以高三復(fù)習(xí)中的一道函數(shù)不等式證明題為例

        2020-05-30 04:08:00四川省溫江中學(xué)611130
        關(guān)鍵詞:作差冪函數(shù)最值

        四川省溫江中學(xué) (611130) 張 君

        函數(shù)不等式問題是近年全國卷高考熱點(diǎn),在解答證明過程中體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等核心素養(yǎng)的考查.在具體構(gòu)造操作中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的工具性.解決函數(shù)不等式問題方法多、形式新、技巧性強(qiáng)、難度大,常見方法是把證明不等式問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題,關(guān)鍵是“恰當(dāng)”的構(gòu)造函數(shù).如何做到更“恰當(dāng)”?是學(xué)生解決此類問題的難點(diǎn).在最近高三復(fù)習(xí)教學(xué)中,學(xué)生對一道函數(shù)不等式證明的診斷試題的解答普遍感到困難,部分卷面反應(yīng)出有思路,但極少有做得很嚴(yán)謹(jǐn)、完整.筆者在教學(xué)中對此問題進(jìn)行了一些探究和思考,僅供參考.

        1.題目

        (2020屆綿陽一診理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2,a∈R,x∈(0,+∞).

        (1)若f(x)存在極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

        2.解法探究

        思路1:參變分離消參構(gòu)造

        ①當(dāng)00≥axlnx,不等式恒成立;

        思路2:不等式放縮構(gòu)造

        先證不等式:ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等).令h(x)=ex-x-1,則h′(x)=ex-1,所以h(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴h(x)≥h(0)=0,即證.

        思路3:直接作差構(gòu)造

        ①當(dāng)00≥axlnx,不等式恒成立;

        評注:移項作差直接構(gòu)造,轉(zhuǎn)化成差函數(shù)的最值問題,這是不等式證明最常見、最基本的方法,學(xué)生容易想到,也是學(xué)生的普遍的想法和解法,但要兩次用到隱零點(diǎn),g(x)的最小值只能用隱形零點(diǎn)表示,還需要再次構(gòu)造函數(shù)求g(x)的最小值的最小值大于0,過程復(fù)雜,運(yùn)算能力要求很高,難度大.

        思路4:變形作差構(gòu)造

        ①當(dāng)00≥axlnx,不等式恒成立;

        又h(1)=-1<0,h(2)=0,所以當(dāng)x∈(1,2)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(2,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.g(x)≥g(2)=1-ln2>0,故g(x)>0,問題得證.

        3.歸納提煉

        3.1 方法凝煉

        圖1

        3.2 常見函數(shù)組合

        (1)冪函數(shù)x(xn)與指數(shù)函數(shù)ex的運(yùn)算組合

        f(x)f(x)=exxf(x)=xexf(x)=x·ex圖像定義域{x|x≠0}RR單調(diào)性在(-∞,0)和(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減;在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞增;在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.在(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞增;在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.最值在(0,+∞)上有最小值f(1)=e在R上有最大值f(1)=1e在R上有最小值f(-1)=-1e

        (2)冪函數(shù)x(xn)與對數(shù)函數(shù)lnx的運(yùn)算組合

        f(x)f(x)=lnxxf(x)=xlnxf(x)=x·lnx圖像定義域(0,+∞)(0,1)∪(1,+∞)(0,+∞)單調(diào)性在(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增;在(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.在(0,1)和(1,e)內(nèi)單調(diào)遞減;在(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.在(0,1e)內(nèi)單調(diào)遞減;在(1e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.最值在(0,+∞)上有最大值f(e)=1e在(1,+∞)上有最小值f(e)=e在(0,+∞)上有最小值f(1e)=-1e

        4.改編、創(chuàng)編

        圖2

        4.1 逆向改編成恒成立問題

        改編題1 若ex>axlnx對?x∈(0,+∞)恒成立,求正整數(shù)a的最大值.

        4.2 調(diào)整參數(shù)a的取值范圍

        圖3

        4.3 調(diào)整參數(shù)a的位置

        圖4

        5 牛刀小試

        (1)求a,b;(2)求證:f(x)>1.

        題目2 已知函數(shù)f(x)=(aex+ex)(ex+ex)與g(x)=e2x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖像恰有三個不同的公共點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

        6.結(jié)語

        在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中,不僅要注重讓學(xué)生掌握解決問題的通性通法,更需要加強(qiáng)解題后的反思、總結(jié)、提煉,一題多解、一題優(yōu)解,引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致分析問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),厘清思路,體會命題者意圖,抓住指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)等核心知識,追根溯源,類比歸納、變化角度、改編創(chuàng)編,進(jìn)而提出新的問題并加以解決,舉一反三,讓學(xué)生真正感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣,從而使高三復(fù)習(xí)更具深度.

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