李貴明，姚 郁

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制與仿真中心，哈爾濱150001）

基于H∞理論的交會(huì)對(duì)接模擬器橫向平移控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)*

李貴明1，2，姚 郁3

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制與仿真中心，哈爾濱150001）

研究九自由度空間交會(huì)對(duì)接模擬器橫向平移控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)問(wèn)題.采用非結(jié)構(gòu)不確定性描述系統(tǒng)中的高頻機(jī)械諧振，給出了系統(tǒng)對(duì)象的不確定性模型.根據(jù)橫向平移系統(tǒng)的性能指標(biāo)和主要不確定性確定了魯棒H∞控制方案，并研究了混合靈敏度問(wèn)題的加權(quán)函數(shù)選取原則和確定方法，給出了基于線性矩陣不等式（LMI）的H∞控制律的存在條件和設(shè)計(jì)方法.實(shí)際系統(tǒng)測(cè)試結(jié)果達(dá)到指標(biāo)要求，說(shuō)明了該方法的有效性.

空間交會(huì)對(duì)接模擬器；橫向平移控制；H∞控制

空間交會(huì)對(duì)接是載人航天工程的重大課題［1］.導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制系統(tǒng)使兩飛行器在對(duì)接前的相對(duì)位置、姿態(tài)和速度都滿(mǎn)足一定要求，對(duì)接機(jī)構(gòu)接觸碰撞并自動(dòng)相互鎖緊，最后完成對(duì)接任務(wù).

九自由度空間交會(huì)對(duì)接模擬器用于模擬交會(huì)過(guò)程中最后段內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，對(duì)接任務(wù)決定模擬器應(yīng)具備九個(gè)自由度.模擬器采用6＋3的系統(tǒng)方案，其中的追蹤飛行器的六自由度由三個(gè)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和三個(gè)平移運(yùn)動(dòng)組成.要求模擬質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的三個(gè)平移運(yùn)動(dòng)具有大行程和嚴(yán)格的垂直度，還要求平移系統(tǒng)滿(mǎn)足低速平穩(wěn)性和穩(wěn)態(tài)精度等指標(biāo).

自從1981年Zames提出將H∞范數(shù)作為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的工具、開(kāi)創(chuàng)H∞控制理論以來(lái)，經(jīng)過(guò)二十多年的發(fā)展，H∞控制理論已進(jìn)入完善和推廣時(shí)期，是解決不確定系統(tǒng)控制問(wèn)題的一種綜合方法［2］.針對(duì)機(jī)電伺服系統(tǒng)，可根據(jù)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能要求直接設(shè)計(jì)出H∞控制器，是一種系統(tǒng)化的設(shè)計(jì)方法.H∞控制問(wèn)題的基于LMI（linearmatrix inequality）的求解方法，需要的假設(shè)條件相對(duì)較少［3］，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解三個(gè)線性矩陣不等式的凸優(yōu)化問(wèn)題，采用“內(nèi)點(diǎn)法”進(jìn)行求解.

本文以空間交會(huì)對(duì)接模擬器橫向平移控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)為背景，采用了魯棒H∞控制方案，研究了加權(quán)函數(shù)的選取原則，給出了基于LMI的H∞控制律存在條件和求解方法，并給出了實(shí)際系統(tǒng)的測(cè)試結(jié)果.

1 橫向平移系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和不確定性描述

模擬器橫向平移系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.選定哈爾濱工業(yè)大學(xué)自主研制的交流無(wú)刷力矩電機(jī)，該電機(jī)設(shè)計(jì)成中空結(jié)構(gòu)，絲杠從電機(jī)軸心穿過(guò)，電機(jī)轉(zhuǎn)子直接帶動(dòng)螺母旋轉(zhuǎn)，采用旋轉(zhuǎn)螺母滾珠絲杠傳動(dòng)為本系統(tǒng)的傳動(dòng)方案.

圖1 橫向平移系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

平移系統(tǒng)的被控對(duì)象由交流電機(jī)本體、逆變驅(qū)動(dòng)電路和位置傳感器組成，通過(guò)機(jī)理分析推導(dǎo)出其傳遞函數(shù)為

式中，U（s）為電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的輸入電壓，θ（s）為旋轉(zhuǎn)變壓器的輸出位置，τm、τe分別為機(jī)電、電氣時(shí)間常數(shù).

橫向平移系統(tǒng)的模型可通過(guò)輸入變頻正弦信號(hào)辨識(shí)得到.由于受系統(tǒng)自身?xiàng)l件限制，測(cè)試不能達(dá)到很高的頻段，導(dǎo)致了高頻未建模的動(dòng)態(tài).而作為機(jī)械系統(tǒng)固有特性的機(jī)械諧振在高頻區(qū)表現(xiàn)尤為突出［4］.根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，可將其表述為如下形式：

式中，ω0為諧振峰頻率，a／b為諧振峰值.諧振特性由機(jī)械結(jié)構(gòu)決定，且難以準(zhǔn)確描述，只可根據(jù)實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)確定出機(jī)械諧振引入的不確定性的界.考慮到未建模特性是非結(jié)構(gòu)不確定性，故采用乘性攝動(dòng)加以描述，即實(shí)際對(duì)象P（s）為

式中‖Δ‖∞≤1，界函數(shù)W（s）有待于設(shè)計(jì).乘性不確定性可由圖2來(lái)描述.

圖2 對(duì)象乘性不確定性描述框圖

2 基于LM I的H∞控制律

2.1 混合靈敏度問(wèn)題與標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問(wèn)題

考慮了不確定性、魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能的伺服系統(tǒng)的H∞控制問(wèn)題可以表述為如圖3所示的混合靈敏度問(wèn)題［5］.

圖3 混合靈敏度設(shè)計(jì)的系統(tǒng)框圖

圖3中r、e、u、d和y分別為參考輸入、跟蹤誤差、控制輸入、干擾輸入和系統(tǒng)輸出.從r至e，u和y的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為

式中，L（s）＝P0（s）K（s）為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù).通常S（s）和T（s）分別稱(chēng)為靈敏度函數(shù)和補(bǔ)靈敏度函數(shù).

控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)為通過(guò)最小化r到z1的傳遞函數(shù)來(lái)滿(mǎn)足跟蹤和抑制干擾的性能；最小化r到z2的傳遞函數(shù)來(lái)防止系統(tǒng)飽和、調(diào)整系統(tǒng)帶寬；最小化r到z3的傳遞函數(shù)來(lái)滿(mǎn)足魯棒穩(wěn)定性，即

式（7）～式（9）是考慮不確定性上限情況下，系統(tǒng)滿(mǎn)足魯棒穩(wěn)定性的條件.聯(lián)合三式可知，設(shè)計(jì)任務(wù)就是尋找控制器K（s）使

成立.

混合靈敏度問(wèn)題便于通過(guò)系統(tǒng)頻域指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，但沒(méi)有統(tǒng)一的解法.將圖3稍加變換可得如圖4所示的標(biāo)準(zhǔn)H∞控制結(jié)構(gòu).因此，可以通過(guò)求解標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問(wèn)題來(lái)求解混合靈敏度問(wèn)題［6］.

圖4 標(biāo)準(zhǔn)H∞框圖

2.2 加權(quán)函數(shù)的選取原則

下面分別給出各加權(quán)函數(shù)的選取原則［7］.

（1）跟蹤性能加權(quán)函數(shù)We（s）的選取原則

We（s）代表干擾的頻譜特性.在We（s）的選取中要考慮低頻干擾的頻帶寬度、按系統(tǒng)快速性要求確定的剪切頻率和噪聲抑制比例.因此選取的形式一般為

式中，k1為比例系數(shù)，T和τ為時(shí)間常數(shù).首先通過(guò)綜合性能指標(biāo)確定其階次，然后根據(jù)跟蹤帶寬確定參數(shù)T，根據(jù)噪聲抑制性確定參數(shù)τ，最后根據(jù)We（s）對(duì)高低頻增益的要求以及性能指標(biāo)γ值確定參數(shù)k1.

We（s）一般采用低通的形式.低通部分是為了保證系統(tǒng)的低頻高增益，以滿(mǎn)足系統(tǒng)的跟蹤性能；高頻段降低增益是為了抑制高頻干擾信號(hào)的影響.為了提高平移系統(tǒng)性能，取We（s）的由低頻高增益到高頻低增益的斜率為－40dB／dec，即

（2）輸出加權(quán)函數(shù)Wy（s）的選取原則

因Wy（s）表示乘性攝動(dòng)的范數(shù)界，代表模型中存在的高頻未建模動(dòng)態(tài)，因此應(yīng)具有高通特性.其斜率可以取的大些，以保證閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)高頻干擾的抑制效果.

（3）控制量加權(quán)函數(shù)Wu（s）的選擇原則

因Wu（s）表示加性攝動(dòng)的范數(shù)界，代表模型中存在的中低頻參數(shù)不確定性，因此應(yīng)該具有低通特性，一般取為慣性環(huán)節(jié)或常數(shù).當(dāng)中低頻參數(shù)攝動(dòng)是非主要不確定性時(shí)，通過(guò)其得到合適的控制量即可.本系統(tǒng)中Wu（s）的作用是保證控制電壓處于±10V之間，以便實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制.

2.3 基于LM I的H∞控制律

為便于求解K（s），引入下面的引理.

引理1［8］.設(shè)E，F(xiàn)，Q為已知矩陣，且QT＝Q，則存在矩陣X，滿(mǎn)足

的充分必要條件是

式中，矩陣E⊥，F(xiàn)⊥分別是E和E⊥的垂直補(bǔ).

設(shè)P0（s）的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為（AP0，BP0，CP0，DP0）；We的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為（AWe，BWe，CWe，DWe）；Wu的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為（AWu，BWu，CWu，DWu）；Wy（s）的模型為Wy（s）＝CWy（sI－AWy）－1BWy＋Tmsm＋…＋T1s＋T0.

（3）教師對(duì)作業(yè)的設(shè)置缺乏系統(tǒng)性。作業(yè)的設(shè)計(jì)必須根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)需要，系統(tǒng)地考慮年級(jí)、單元、課時(shí)的連貫性和一致性，符合語(yǔ)言學(xué)習(xí)的規(guī)律，兼顧聽(tīng)、說(shuō)、讀、看、寫(xiě)能力的全面發(fā)展。教師對(duì)作業(yè)的設(shè)計(jì)缺乏與生活實(shí)際的聯(lián)系和趣味性，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生排斥心理，持敷衍應(yīng)付的態(tài)度完成作業(yè)。

由圖4可知，廣義輸入r、u，廣義輸出z、e和廣義被控對(duì)象G之間滿(mǎn)足

其中

引理2［3］.設(shè)廣義對(duì)象G滿(mǎn)足（A，B2）可鎮(zhèn)定、（A，C2）可檢測(cè)，則存在使圖4所示的系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定、且滿(mǎn)足‖Hzw‖∞＜γ的控制器K（s）的充分必要條件為下述LMI：

存在解矩陣X＞0和Y＞0.其中n和nk分別表示G和K的次數(shù).

根據(jù)引理1和引理2及其證明過(guò)程，可得H∞控制律的存在條件和設(shè)計(jì)方法.

3 橫向平移控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 被控對(duì)象測(cè)定

系統(tǒng)處于開(kāi)環(huán)狀態(tài)，給定正弦電壓指令幅值為6 V，從0.1 Hz掃頻至40 Hz得到被控對(duì)象的頻率響應(yīng)曲線族）.取的中心線為標(biāo)稱(chēng)對(duì)象P0（s），通過(guò)調(diào)整式（1）中的三個(gè)參數(shù)，采用最小二乘法對(duì)P0（s）進(jìn)行擬合，得P0（s）為

根據(jù)

式（22）證實(shí)，高頻不確定性為機(jī)械諧振.考慮到魯棒控制器的階次與其有關(guān)，并結(jié)合加權(quán)函數(shù)的意義和選取原則，取Wy（s）為

3.2 性能加權(quán)函數(shù)確定

橫向平移系統(tǒng)的主要性能指標(biāo)為：

1）閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)滿(mǎn)足：幅度誤差小于10%、相位滯后小于10°的帶寬高于0.5 Hz；

2）位置伺服誤差：±1mm；

3）最低平穩(wěn)速度：1mm／s.

下面將結(jié)合性能指標(biāo)進(jìn)行基于γ值的We（s）的參數(shù)確定.

將乘性不確定性加權(quán)函數(shù)Wy（s）重新列寫(xiě)，如式（24）所示，并選取控制量加權(quán)函數(shù)Wu（s）如式（25）所示

根據(jù)指標(biāo)要求1），設(shè)定兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率分別為1 Hz和10 Hz，即

由于此時(shí)We（s）的頻域特性轉(zhuǎn)折段較窄，導(dǎo)致了低頻高增益和高頻低增益只相差25 dB.考慮到高頻低增益是為了抑制高頻干擾，取

則We（s）的高低增益之間相差60 dB，并且0.5Hz處于慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率前.由于r＝0.125 9，考慮到增大k可更有效抑制10Hz以上的高頻擾動(dòng)，故取k＝20時(shí)，γ＝0.706.繼續(xù)增大k，使We（s）低頻增益再高些，且將γ值逼到1附近.最后選定γ值小于1時(shí)的k的最大整數(shù)值33，相應(yīng)的γ＝0.983.即最終確定的We（s）為

綜上，混合靈敏度問(wèn)題的三個(gè)加權(quán)函數(shù)的幅頻特性如圖5所示.

3.3 H∞控制律與系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性

利用式（16），可得變換后廣義對(duì)象的系統(tǒng)矩陣G為

根據(jù)廣義對(duì)象G，利用引理2

圖5 加權(quán)函數(shù)的幅頻特性

求得H∞控制律K（s）為

式中，

這是一個(gè)6階的線性控制器，相應(yīng)的H∞最優(yōu)性能指標(biāo)為γ＝0.983.

考慮到本系統(tǒng)采用W indows2000與RTX相結(jié)合的定時(shí)機(jī)制以保證計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)采用周期為0.5ms，因此在T＝0.5ms的條件下應(yīng)用雙線性變換對(duì)H∞控制器進(jìn)行離散化，得到的離散控制器K（z）為

式中，

下面分析閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.

系統(tǒng)被控對(duì)象模型存在攝動(dòng)時(shí)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的頻域特性如圖6所示.

圖6 系統(tǒng)對(duì)象攝動(dòng)時(shí)的開(kāi)環(huán)頻率特性

由圖6可知，被控對(duì)象模型存在攝動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的穿越頻率為6 Hz，相角裕度為＋45°，滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件.

不確定性攝動(dòng)界函數(shù)1／Wy（s）與補(bǔ)靈敏度函數(shù)T（s）的幅頻特性如圖7所示.

圖7 系統(tǒng)魯棒性的攝動(dòng)界

考慮到圖7中不確定性攝動(dòng)界函數(shù)1／Wy（s）表示系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的界，而補(bǔ)靈敏度函數(shù)T（s）的幅頻特性一直處于1／Wy（s）的幅頻特性之下，即

則

由小增益定理知，系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性.

3.4 系統(tǒng)測(cè)試結(jié)果

將離散化的H∞控制器K（z）應(yīng)用于平移系統(tǒng)，分別輸入正弦指令、斜坡指令，得到系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行曲線如圖8～10所示.

圖8 正弦響應(yīng)

圖9 正弦指令時(shí)的控制電壓

圖10 斜坡響應(yīng)

4 結(jié) 論

本文以九自由度空間交會(huì)對(duì)接模擬器橫向平移控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)為背景，采用了非結(jié)構(gòu)不確定性描述系統(tǒng)中的高頻諧振，并給出了對(duì)象的不確定性模型，確定了魯棒H∞控制方案.研究了混合靈敏度問(wèn)題的加權(quán)函數(shù)選取原則，并結(jié)合系統(tǒng)性能指標(biāo)和主要不確定性給出了確定方法.推導(dǎo)了基于LMI的H∞控制律的存在條件，并給出了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程.系統(tǒng)測(cè)試結(jié)果滿(mǎn)足指標(biāo)要求，并經(jīng)受住了用戶(hù)長(zhǎng)時(shí)間測(cè)試和仿真實(shí)驗(yàn)應(yīng)用的考驗(yàn)，說(shuō)明了本文方法可以解決實(shí)際系統(tǒng)的魯棒性問(wèn)題.

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Design of Space Rendezvous and Docking Transverse Linear Movement Simulator Control System Based on H∞Theory

LIGuiming1，2，YAO Yu3
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.National Key Laboratory of Science and Technology on Space Intelligent Control，Beijing 100190，China；3.Control and Simulation Center，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

The paper investigates the design of simulator transverse linear movement control system for space rendezvous and docking，and discusses the unstructured uncertainty model.The robust H∞control strategy is designed according to performance indexes and main uncertainties，and the principle and method for choosing weighting functions of the mixed sensitivity optimal design are studied.The robust H∞controller is provided and obtained through solving three LMIs.The physical test resultsmeet the requestments，and show the effectiveness of the proposed method.

space rendezvous and docking simulator；transverse linearmovement control；H∞control

2009-02-01

李貴明（1983—），男，黑龍江人，博士研究生，研究方向?yàn)楹教炱鲗?dǎo)航、制導(dǎo)與控制（e-mail：hitlgm＠163.com）.

TP273

A

1674-1579（2009）06-0030-06