盧文彬

人教版實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十三章全等三角形13.2三角形全等的條件中,指出已知三角形的兩邊以及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)(SSA)并不能證明兩個(gè)三角形全等.但筆者在經(jīng)過(guò)縝密的證明后認(rèn)為,在比較了兩個(gè)三角形的形狀以后,再加上“兩邊以及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的條件,那就可以馬上判斷出這兩個(gè)三角形全等.所以應(yīng)該在教材中講述如何使用(SSA)證明兩個(gè)三角形全等.

人教版實(shí)驗(yàn)教科書(shū)八年級(jí)數(shù)學(xué)教材上冊(cè)講述的證明三角形全等有很多方法:SSS、SAS、AAS、ASA、HL.大家也知道,SSA,也就是已知三角形的兩邊以及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)并不能證明兩個(gè)三角形全等,教材上也給出了相應(yīng)的反例:

如右圖中的△ABC與△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但是兩個(gè)三角形不能重合——不全等.從而給出了結(jié)論:已知三角形的兩邊以及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)并不能證明兩個(gè)三角形全等.

但是細(xì)心的讀者會(huì)注意到其實(shí)這兩個(gè)三角形的形狀不相似(△ABD是銳角三角形,而△ABC是鈍角三角形).如果我們規(guī)定了兩個(gè)三角形的形狀相似,又已知這兩個(gè)三角形的兩邊以及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的情況下,就不能舉出兩個(gè)不重合的三角形的例子,從而可以說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等.

另外,在實(shí)際應(yīng)用中用公理證明兩個(gè)三角形全等之前,自然要判斷這兩個(gè)三角形是否可能全等,也就是說(shuō)要比較這兩個(gè)三角形的形狀.顯然,如果在比較了兩個(gè)三角形的形狀以后,再加上“兩邊以及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的條件,那就可以馬上判斷出這兩個(gè)三角形全等.

細(xì)心的讀者就會(huì)發(fā)現(xiàn)在證明兩個(gè)直角三角形全等的時(shí)候還有另外一個(gè)特殊的方法:HL,即已知兩個(gè)直角三角形的一個(gè)直角邊和一個(gè)斜邊對(duì)應(yīng)相等的情況下,就可以判斷出這兩個(gè)直角三角形全等.從理論上來(lái)講,其實(shí)HL就是SSA的特例,只不過(guò)現(xiàn)在已知的另外一個(gè)角是90度而已,用剛才說(shuō)過(guò)的理論即這兩個(gè)三角形都是直角三角形,他們的形狀是相同的.

另一方面,我們可以從另一角度證明SSA的正確性.

為了研究和△ABC滿(mǎn)足SSA條件的三角形,我們作出它的外接圓(如圖),并以AB為邊,在同側(cè)作△ABD,要想使其滿(mǎn)足有一個(gè)角相等,只能使點(diǎn)D在圓上,要想有另外一個(gè)“非夾邊”對(duì)應(yīng)相等,只能取BD=AC,這樣一來(lái),顯然兩個(gè)三角形全等(先證明△ACE與△BDE全等,說(shuō)明AD=BC,然后用SSS就可以證明這兩個(gè)三角形全等了).如果AB恰好是直徑,則可以作出三個(gè)滿(mǎn)足SSA的三角形,不過(guò)全都與△ABC全等.

綜上所述,筆者認(rèn)為在八年級(jí)階段,既然已經(jīng)講述了證明兩個(gè)三角形全等的方法,那么應(yīng)該告訴學(xué)生這一規(guī)律,并且讀者也可以在教輔資料上找到很多用SSA來(lái)證明兩個(gè)三角形全等的例子(這些題目要用別的方法是很難證明出來(lái)的).并且,如果真正把SSA編進(jìn)教材,在學(xué)習(xí)證明三角形全等的時(shí)候就可以用這樣一句話(huà)來(lái)總結(jié)兩個(gè)三角形全等的條件:

已知三個(gè)條件,并且至少有一個(gè)條件是邊相等的情況下,我們就可以證明這兩個(gè)三角形全等.

所以,“SSA”作為全等三角形的判定定理在三角形全等這一章也未嘗不可.

綜上所述,將“SSA”作為全等三角形的判定定理寫(xiě)入教材,從培養(yǎng)學(xué)生探索知識(shí)能力出發(fā),這符合新課標(biāo)上開(kāi)發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維,保證學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的連貫性的要求.當(dāng)然,如果不至于變動(dòng)太大,筆者認(rèn)為至少可以加到閱讀材料上.

責(zé)任編輯羅峰