董 勇 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023；武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

李夢霞，陳 忠 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

基于無下采樣的正交小波變換的閾值去噪方法

董 勇 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023；武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

李夢霞，陳 忠 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

現(xiàn)行的小波閾值去噪算法中，都包含采樣的操作，但下采樣導(dǎo)致信號所含信息出現(xiàn)丟失，上采樣則引入新的畸變。為克服這些不足之處，提出了基于無下采樣的正交小波變換的閾值去噪方法，并在Matlab6.5環(huán)境下給出了具體的算法。并進(jìn)行了數(shù)值試驗。試驗結(jié)果表明，取消下采樣的操作，可以提高信噪比，減小最小均方誤差，使去噪效果得到了明顯改善。

正交小波變換；下采樣；閾值；去噪；信噪比；最小均方誤差

去除噪聲一直是信號處理中的重要內(nèi)容?；谛〔ㄗ儞Q的閾值去噪的概念是D.L.Dohono[1，2]提出來的，在Besov空間中，該方法在最小均方誤差意義下優(yōu)于其它任何線性形式。其實現(xiàn)過程是借助于濾波器組進(jìn)行子帶編碼完成的。對信號進(jìn)行低通濾波和高通濾波，分別得到信號的低頻近似小波系數(shù)和高頻細(xì)節(jié)小波系數(shù)，在一定的條件下，認(rèn)為近似系數(shù)主要是由干凈信號本身產(chǎn)生的，而細(xì)節(jié)系數(shù)一方面來至于信號本身的細(xì)節(jié)特點，比如邊緣等。另一方面來至于噪聲。當(dāng)細(xì)節(jié)系數(shù)小于某個臨界閾值時，認(rèn)為主要是由噪聲引起的，予以舍棄；當(dāng)細(xì)節(jié)系數(shù)大于某個臨界閾值時，認(rèn)為主要是由信號引起的，那么把這部分的細(xì)節(jié)系數(shù)直接保留(硬閾值方法)或者按某一個固定量向零靠攏(軟閾值方法)，然后用新的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的信號。其中，這樣的處理過程可以針對近似信號多次進(jìn)行。

小波變換對應(yīng)的子帶編碼的分解和重建過程[3](只進(jìn)行一次分解)如圖1所示。

注： x(n)：含噪信號；y(n)：重建信號；H0(z)：分解低通濾波器；H1(z)：分解高通濾波器； G0(z)：重建低通濾波器；G1(z)：重建高通濾波器；↓2：下采樣；↑2：上采樣。圖1 小波的分解與重建示意圖

以一次分解為例，閾值去噪就是對下采樣后的v1(n)進(jìn)行閾值處理，再經(jīng)過上采樣，卷積濾波，對卷積結(jié)果取合適的部分加和，就得到了去噪后的重構(gòu)信號y(n)。其中有下采樣的操作，對于正交小波變換，低頻子帶小波系數(shù)的下采樣與高頻子帶小波系數(shù)的下采樣一般都取奇數(shù)項；對于雙正交小波變換，低頻子帶小波系數(shù)的下采樣與高頻子帶小波系數(shù)的下采樣一般前者取奇數(shù)項，后者取偶數(shù)項。一方面，進(jìn)行下采樣的目的是：使信號在小波變換前后數(shù)據(jù)量保持不變，這樣可以減少計算量和存儲量。但并不涉及變換本身。另一方面，小波分解后的高頻細(xì)節(jié)系數(shù)仍然含有信號的有用信息，進(jìn)行下采樣，不可避免的會丟失信號的部分有用信息(這也是雙正交小波變換分別下采樣時分別取偶數(shù)項和奇數(shù)項的原因)，自然會影響閾值處理的結(jié)果。基于以上考慮，筆者采用無下采樣的正交小波變換來進(jìn)行閾值去噪。

1 算 法

下面給出基于正交小波變換的硬閾值去噪的算法(針對分解一次，閾值處理一次)。

Step1(1)讀入含噪信號：

loadx(n)；(記為x(n)=[x1,x2,…,xN] )

(2)讀入分解低通濾波器系數(shù)，并計算得到完美重建濾波器組系數(shù)：

loadH0；(記為H0=[h01,h02,…,h0L)

F0=fliplr(H0)；(得到F0=(h0L,h0L-1,…,h01] )

fori=1∶1∶L

H1(i)=F0(i)*(-1)^(i+1);

end

fori=1∶1∶L

F1(i)=H0(i)*(-1)^(i);

end

(得到H1=[h0L,-h0L-1,h0L-2,-h0L-3,…]，F(xiàn)1=[-h01,h02,-h03,h04,…])

Step2分解含噪信號x(n)：

(1)x周期延拓：x0=[xN-L+2,…,xN,x1,x2,…,xN,x1,x2,…,xL-1]；

(2)低通濾波：ca0=conv(x0,H0)；ca=caa(L∶N+L-1)；

(3) 高通濾波：類似(2.2)的做法，計算x0經(jīng)H1濾波的結(jié)果cd。

Step3對cd硬閾值處理去噪：

(1) 對cd中元素取絕對值，搜索其中值cdz。

(3) 處理：對i=1,2,…,N，如果cd[i]≤yita，cd[i]=0；否則，不變。

Step4合成：

(1)ca及cd周期延拓：

ca1=[caN-L+2,…,caN,ca1,ca2,…,caN,ca1,ca2,…,caL-1]

cd1=[cdN-L+2,…,cdN,cd1,cd2,…,cdN,cd1,cd2,…,cdL-1]

(2)濾波：

rca1=conv(ca1,F0)rca=rca1(2L-1∶2L-2+N)

rcd1=conv(cd1,F1)rcd=rcd1(2L-1∶2L-2+N)

(3)加合：y(n)=rca+rrcd。

說明：①對上述算法稍作修改，可以實現(xiàn)對含噪信號進(jìn)行多層分解，分別硬閾值去噪，再重建去噪后信號。 ②可以對上述算法中的Step3進(jìn)行修改，得到其他的閾值處理方式對應(yīng)的算法，如軟閾值去噪的算法等。

2 試 驗

采用輸出信噪比(SNR)和最小均方誤差(MSE)作為去噪性能指標(biāo)：

圖1 去噪效果圖

性能指標(biāo)去噪方法有下采樣無下采樣SNR102634111207MSE0876107155

從圖1可以看出，基于無下采樣的正交小波變換的硬閾值去噪的結(jié)果要更為光滑一些。從表1的性能指標(biāo)也可以看出，筆者提出的方法確實提高了信噪比，減小了最小均方誤差。究其原因，是取消了下采樣的操作，保留了信號更多的有用信息。

[1]Donoho D L,Johnston I M.Ideal Spatial Adaptation Via Wavelet Shrinkage[J].Biometrika,1994,81(12): 425～455.

[2]Donoho D L. De-noising by Soft-thresholding[J]. IEEE Trans on IT,1995,41(3):613～627.

[3]張旭東，盧國棟，馮健.小波壓縮技術(shù)-原理、算法和標(biāo)準(zhǔn)[M].北京，清華大學(xué)出版社，2004，3:206～207.

[4]Grace Chang S，Bin Yu，Vattereli M. Adaptive Wavelet Thresholding for Image Denoising and Compression[J]. IEEE Trans Image Processing，2000，9(9)：1532～1546.

[編輯] 洪云飛

TN911.72

A

1673-1409(2009)01-N010-03

2008-12-23

國家自然科學(xué)基金項目(40572078/D0206)；教育部重點實驗室開放基金項目 (K200609)；石油科技中青年創(chuàng)新基金項目(2002f70104)；湖北省教育廳(A類)重點項目(D200512001)。

董勇(1980-)，男，2002年大學(xué)畢業(yè)，助教，碩士生，現(xiàn)主要從事小波分析理論及應(yīng)用方面的教學(xué)與研究工作。