楊宏軍

一次函數(shù)的圖像,可以直觀地確定出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集及二元一次方程組的解等問題?？梢泽w會到方程(組)、不等式的解及二元一次方程組的解與圖像上點的坐標密切關(guān)系,可品味出數(shù)學(xué)結(jié)合思想的內(nèi)在的魅力。下面舉例說明如下:

例1 一個物體現(xiàn)在的速度是5m/s,其速度每秒增加2m/s,再過幾秒它的速度為17m/s?

[解]方法一:設(shè)再過x秒物體速度為17m/s.由題意可知:2x+5=17解之得:x=6。

方法二:速度y(m/s)是時間x(s)的函數(shù),關(guān)系式為:y=2x+5。當(dāng)函數(shù)值為17時,對應(yīng)的自變量x值可通過解方程2x+5=17得到x=6。

方法三:由2x+5=17可變形得到:2x-12=0。

直線y=2x-12與x軸的交點為(6,0)。得x=6。

說明:這個題我們通過三種方法,從方程、函數(shù)解析式及圖像三個不同方面進行解答.它是數(shù)與形的完美結(jié)合,結(jié)果是相同的,這就是特途同歸。

例2.用畫圖像的方法解不等式2x+1>3x+4

分析:(1)可將不等式化為-x-3>0,作出直線y=-x-3,然后觀察:自變量x取何值時,圖像上的點在x軸上方?或(2)畫出直線y=2x+1與y=3x+4,然后觀察:對于哪些x的值,直線y=2x+1上的點在直線y=3x+4上相應(yīng)的點的上方? 解:方法(1)原不等式為:-x-3>0,在直角坐標系中畫出函數(shù)y=-x-3的圖像。從圖像可以看出,當(dāng)x<-3時這條直線上的點在x軸上方,即這時y=-x-3>0,因此不等式的解集是x<-3。

方法(2)把原不等式的兩邊看著是兩個一次函數(shù),在同一坐標系中畫出直線y=2x+1與y=3x+4,從圖像上可以看出它們的交點的橫坐標是x=-3,因此當(dāng)x<-3時,對于同一個x的值,直線y=2x+1上的點在直線y=3x+4上相應(yīng)點的上方,此時有2x+1>3x+4,因此不等式的解集是x<-3。兩條直線的交點坐標,就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解。

例3 兩種移動電話計費方式如下:

全球通 神州行

月租費50元/月0

本地通話費 0.40元/分 0.60元/分 如何選擇計費方式更省錢 ?

解:設(shè)一個通話時間累計為x分,全球通與神州行兩種計費差額為y元,則y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式為:

y=(0.40x+50)-0.60x

化簡為:y=-0.20x+50

在直角坐標系中畫出這個函數(shù)圖像。

計算出直線y=-0.20x+50與x軸的交點為(250,0)。

當(dāng)00,即選神州行省錢。

當(dāng)x=250時,y=0,即選神州行與全球通沒有區(qū)別。

當(dāng)x>250時,y<0,即選全球通省錢。

例4.已知直線y=(1-3k)x+2k-1。

(1)k為何值時,直線經(jīng)過原點;

(2)k為何值時,直線與y軸的交點坐標是(0,-2);

(3)k為何值時,直線與x軸的交于( ,0);

(4)k為何值時,y隨x增大而增大;

(5)k為何值時,直線與直線y=-3x-5平行? (

研析:此題綜合考查了一次函數(shù)的基本性質(zhì):(1)直線過原點 2k-1=0。(2)直線與y軸交點為(0,-2)。當(dāng)x=0時,y=-2。(3)直線于x軸交于(3/4 ,0)當(dāng)x= 時,y=0.(4) y隨x增大而增大,1-3k>0。(5)直線與y=-3x-5平行 1-3k=-3. )。

解:

(1)當(dāng)2k-1=0,即k= 時,直線經(jīng)過原點。

(2)當(dāng)x=0時,y=-2,即2k-1=-2,k=-時,直線與y軸的交點坐標是(0,-2)。

(3)當(dāng)x=時,y=0,即0= (1-3k)+2k-1,k=-1.當(dāng)k=-1時,直線與x軸交于( ,0)。

(4)當(dāng)1-3k>0,即k< 時, y隨x增大而增大。

(5)當(dāng)1-3k=-3,即k= 時,直線于y=-3x-5平行。

說明: 對于直線y=kx+b,直線過原點 b=0, y隨x增大而增大(減小)k>0(k<0);與另一直線y=mx+n平行 k=m。

把數(shù)與形有機地結(jié)合起來思考問題、解決問題,有時會取得非常良好的效果,這種數(shù)形結(jié)合的思想方法是講解一次函數(shù)圖像的一個主線?！?

(編輯/李舶)