孟擁軍

感生電動(dòng)勢(shì)起因于磁場(chǎng)的變化，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)能激發(fā)起電場(chǎng),這種電場(chǎng)叫感生電場(chǎng)或渦旋電場(chǎng)。如圖1所示是一圓柱狀均勻磁場(chǎng)區(qū)的橫截面圖,截面半徑為R。如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間增加，變化率為ΔB/Δt，B的方向如圖1所示垂直紙面向里，則磁場(chǎng)中以O(shè)點(diǎn)為圓心、以r為半徑的導(dǎo)體回路上的感生電動(dòng)勢(shì)為：ε=ΔBΔtπr₂(r≤R)，ε=ΔBΔtπR₂(r＞R)?？梢宰C明：導(dǎo)體回路內(nèi)的渦旋電場(chǎng)的方向沿導(dǎo)體上各點(diǎn)的切線方向(可以用楞次定律來(lái)判斷)，其大小為E=r2ΔBΔt(r≤R)，E=R₂2rΔBΔt(r＞R)。

需要指出的是，上式僅適用于R為有限值時(shí)均勻變化的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，而且柱形區(qū)域外不存在其他磁場(chǎng)。

此類知識(shí)的應(yīng)用在高中物理競(jìng)賽中是?？嫉膬?nèi)容。主要圍繞兩個(gè)方面展開(kāi)：(1)粒子在渦旋電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力；(2)粒子在渦旋電場(chǎng)中環(huán)繞一周電場(chǎng)力的功，W=qε；主要問(wèn)題有以下三類：

1 圓周運(yùn)動(dòng)

例1 一個(gè)長(zhǎng)的螺線管包括了另一個(gè)同軸的螺線管(它的半徑R是外面螺線管的一半)。它們的單位長(zhǎng)度具有相同的線圈數(shù)，且初始時(shí)都沒(méi)有電流。在同一瞬間，電流開(kāi)始在兩個(gè)螺線管中線性增長(zhǎng)。在任意時(shí)刻，里邊的螺線管中的電流為外邊螺線管中的兩倍，它們的方向相同。由于增長(zhǎng)的電流，一個(gè)初始靜止的處于兩個(gè)螺線管中間的帶電粒子，開(kāi)始沿著一根圓形的軌道運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。問(wèn)圓的半徑r為多少?

分析與解 通電無(wú)限長(zhǎng)螺線外磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，螺線管內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=μ0nI(其中μ0是真空磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7猅?m/A。n表示單位長(zhǎng)度的匝數(shù)，I為電流強(qiáng)度)。在t時(shí)刻外邊螺線管中的電流為I=kt，里邊的螺線管中的電流為2I=2kt，其中k是一個(gè)常數(shù)。由這些電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)在外邊螺線管中為B=μ0nkt，而在里邊螺線管中為3B。半徑為r的粒子軌道所包圍的磁通量為：Φ=πR₂×2B+πr₂×B=(2R₂+r₂)πμ0nkt。

感生電場(chǎng)大小可以由磁通量隨時(shí)間的變化率計(jì)算得出：E×2πr=ΔΦΔt=(2R₂+r₂)πμ0nk。

因此E=(2R₂+r₂)rμ0nk2。帶電粒子由磁場(chǎng)限制在它的圓形軌道上，其向心力由洛倫茲力提供，由向心力公式可得：mv2r=qvB，v=qBrm，粒子在切線方向的合力(Fτ=qE)使它沿著圓形軌道加速，由牛頓第二定律可知：maτ=qE，其中m是質(zhì)量，q是粒子的電荷量。由于電場(chǎng)的大小恒定，粒子的速度隨時(shí)間均勻地增加，v=aτt=qEmt=(2R₂+r₂)rμ0nk2qmt，可得：（2R₂+r₂)rμ0nk2qmt=qμ0nktrm所以滿足上式的條件為：(2R₂+r₂)2r₂=1，即r=2R。

2 橢圓運(yùn)動(dòng)

例2 如圖3所示，有一橢圓軌道，其方程：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，正半軸交y軸于C點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于A點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心R為半徑(R＜b)的區(qū)域內(nèi)有一均勻磁場(chǎng)B1方向垂直紙面向里，B1以速率ΔB1/Δt=k(k為常數(shù))增大。在圓外整個(gè)區(qū)域有勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2，B方向垂直紙面向里。開(kāi)始時(shí)橢圓軌道上的A點(diǎn)有質(zhì)量為m、電量為q(q＞0)的粒子，它只能在橢圓軌道上無(wú)摩擦地運(yùn)動(dòng)，若要使粒子通過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道無(wú)壓力，求B2的大小。(已知C點(diǎn)橢圓軌道的曲率半徑為R=a2/b)。

分析與解 磁場(chǎng)B1均勻變化空間各點(diǎn)有穩(wěn)定的渦旋電場(chǎng)，在圓形磁場(chǎng)外，任何以O(shè)為圓心的圓周的電動(dòng)勢(shì)ε=ΔB1ΔtπR₂=kπR₂，由楞次定律得：渦旋電場(chǎng)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉ＡＷ拥?次從A點(diǎn)到C點(diǎn)：由動(dòng)能定理可得：W=qε=qkπR₂3π/22π=12mv21，第n次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)：

qkπR₂(3π/2+n?2π)2π=12mv2璶，可見(jiàn)，

v璶=qkR₂(32π+n?2π)m，

帶電粒子運(yùn)動(dòng)的向心力由磁場(chǎng)B2對(duì)它的洛倫茲力及軌道的支持力提供。當(dāng)在C處對(duì)軌道的壓力為0時(shí)，由向心力公式可得：qB2v璶=mv2璶ρ(其中：ρ為C點(diǎn)的曲率半徑），即：

qB2?qkR₂(32π+n?2π)m=ba2?qkR₂(3π/2+n?2π)，

有B2=bRa2mkq(2nπ+32π)(n=0、1、2…）。

3 一般曲線運(yùn)動(dòng)

例3 人類在宇宙空間發(fā)現(xiàn)了一片特殊區(qū)域，它的形狀可以近似看成一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)圓柱，半徑為R。在此區(qū)域內(nèi)存在強(qiáng)磁場(chǎng)（可以認(rèn)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)），磁場(chǎng)方向沿圓柱中心軸，如圖4所示。由于能量衰竭，它的磁感應(yīng)強(qiáng)度正逐漸減小，已測(cè)得變化率為ΔB/Δt=-k，為了探測(cè)它，人類計(jì)劃發(fā)射探測(cè)器，探測(cè)器沒(méi)有發(fā)動(dòng)機(jī)，但自身帶電，帶電量Q(Q很大)。計(jì)劃中，探測(cè)器以v0的初速度正對(duì)圓柱中心發(fā)射，然后在時(shí)間t后，在相對(duì)于圓柱轉(zhuǎn)過(guò)α角(α＜45°）的地方擦柱邊而過(guò)。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)計(jì)劃，v0必須為多大?

分析與解 柱外渦旋電場(chǎng)強(qiáng)度E=kR₂2r璱，r璱為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上任意點(diǎn)距圓心的距離。如圖5所示，由A到B在其中取一小段曲線長(zhǎng)為Δs璱 ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Δt璱，設(shè)v璱表示運(yùn)動(dòng)軌跡上距圓心r璱處沿渦旋電場(chǎng)強(qiáng)度方向上的速度分量，由動(dòng)量定理可得：QkR₂2r璱Δt璱=mΔv璱，

兩邊同乘r璱可得：

QkR₂2r璱Δt璱r璱=mΔv璱r璱，

各小段求和可得：ΣQkR₂2Δt璱=ΣmΔv璱r璱，

可得：QkR₂2t=R?mv瑽，

所以：v瑽=kRQt2m。

由A到B在其中取一小段曲線長(zhǎng)為Δs璱，則渦旋電場(chǎng)做功：

ΔW璱=QR₂k2r璱Δs璱=QR₂k2r璱r璱Δθ璱，

因此總功為：

W=ΣΔW璱=QR₂k2ΣΔθ璱=QR₂k2?α。

由動(dòng)能定理可得：W=12mv2瑽-12mv20，即：

12m(kRQt2m)2-12mv20=12kR₂Qα，

解得：v0=(kRQt)24m2-kR₂Qαm。

(欄目編輯羅琬華)