宋雪麗,侯延仁

(1.西安交通大學理學院,陜西西安 710049;2.西安科技大學理學院,陜西西安 710054)

多值半流理論及其在三維Navier-Stokes方程中的應用

宋雪麗1,2,侯延仁1

(1.西安交通大學理學院,陜西西安 710049;2.西安科技大學理學院,陜西西安 710054)

利用多值半流方法研究三維有界區(qū)域上Navier-Stokes方程的全局吸引子,證得了多值半流的一些性質(zhì),并將這些性質(zhì)應用于三維Navier-Stokes方程,得出了弱解的幾種全局吸引子.從而表明在三維情形,通過多值半流來研究Navier-Stokes方程的全局吸引子是可行的.

Navier-Stokes方程;多值半流;吸引子

1 引言

Banach空間中的非線性算子半群理論是研究無窮維動力系統(tǒng)的定性行為的重要的數(shù)學工具.應用這種理論,在過去幾年中,得到了關(guān)于發(fā)展微分方程的吸引子的許多結(jié)論[12].然而,這種理論不能應用到解不唯一的一類初-邊值問題,例如三維Navier-Stokes方程.為了對諸如這類的微分方程系統(tǒng)進行定性分析,將一般的半群理論拓展到多值半群理論是非常必要的.為此,產(chǎn)生了多值動力系統(tǒng)理論.

目前,多值動力系統(tǒng)理論已經(jīng)被應用到一些發(fā)展方程中去[34].1998年,Melnik[3]定義了多值半流理論,并將其應用到某類微分包含動力系統(tǒng)中,這類動力系統(tǒng)當初值給定時解不唯一.二維Navier-Stokes方程的全局吸引子的存在性無論是在有界還是無界區(qū)域上、自治還是非自治情形都已經(jīng)得到解決[56].近幾年,有一些關(guān)于三維Navier-Stokes方程的弱解的漸進行為的研究[710].三維情形有兩個困難需要克服,一方面,尚不清楚三維Navier-Stokes方程的弱解是否唯一;另一方面,也是主要問題,即缺乏弱解關(guān)于時間的連續(xù)性,直至現(xiàn)在,只證明了弱解在相空間的弱拓撲下關(guān)于時間連續(xù).

本文介紹了多值半流的基本概念,更進一步地討論了多值半流的一些具體性質(zhì),并利用這些性質(zhì)討論了三維有界區(qū)域上自治Navier-Stokes方程的幾個全局吸引子.

2 多值半流的基本概念

設X是一個完備的度量空間.R+=[0,+∞),P(X),β(X),C(X)分別表示X的所有非空、非空有界、非空閉集.

3 多值半流的一些具體性質(zhì)

4 在三維Navier-Stokes方程中的應用

[1]李全國.Hodgkin-Huxley系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,2008,24(2):224-227.

[2]Temam R.Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics[M].New York:Springer-Verlag, 1988.

[3]Melnik V S,Valero J.On attractors of multivalued semiflow and differential inclusions[J].Set-Valued Analysis, 1998,6:83-111.

[4]Chepyhov V V,Vishik M.Trajectory attractors for evolution equations[J].CR Acad.Sci.Paris,1997,321(10): 1309-1314.

[5]Rosa R.The global attractors for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains[J].Nonlinear Analysis,1998,32(1):71-85.

[6]Hou Y,Li K.The uniform attractors for the 2D non-autonomous Navier-Stokes flow in some unbounded domain[J].Nonlinear Analysis,2004,58(5):609-630.

[7]Sell G.Global attractor of the three-dimensional Navier-Stokes equations[J].J.Dynamics Differential Equations,1996,8:1-33.

[8]Cutland N J.Global atractors for small samples and germs of 3D Navier-Stokes equations[J].Nonlinear Analysis,2005,62(2):265-281.

[9]Cheskidov A,Foias C.On global attractors of the 3D Navier-Stokes equations[J].J.Differential Equations, 2006,231(2):714-754.

[10]Kapustyan A V,Valero J.Weak and strong attractors for the 3D Navier-Stokes system[J].Journal of Differential Equations,2007,240(2):249-278.

[11]Ball J M.Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations[J].J.Nonlinear Sci.,1997,7:475-502.

The theory of multi-valued semiflow and its application to three-dimensional Navier-Stokes equations

SONG Xue-li1,2,HOU Yan-ren1

(1.College of Science,Xi’an Jiaotong University,Xi’an710049,China;
2.College of Science,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an710054,China)

This paper is using the multi-valued semiflow method to study the attractor of three-dimensional Navier-Stokes equation on some bounded domains,some properties of multi-valued semiflow are obtained.Then, applying these properties to three-dimensional Navier-Stokes equations,several global attractors of weak solutions are obtained.So,it indicate that using multi-valued semiflow to study the global attractor of Navier-Stokes equation in three-dimensional case is feasible.

Navier-Stokes equation,multi-valued semiflow,global attractor

O175.4

A

1008-5513(2009)04-0737-06

2008-03-31.

國家自然科學基金(10871156).

宋雪麗(1979-),博士生,講師,研究方向：無窮維動力系統(tǒng).

2000MSC:35B40,35B41