張娟娟

(西安工程大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710048)

某些半環(huán)上Green關(guān)系的刻劃

張娟娟

(西安工程大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710048)

假設(shè)S是乘法半群為完全正則半群的半環(huán).給出了S上的Green關(guān)系˙H,˙L和˙D是S上的半環(huán)同余的等價(jià)刻劃,并利用冪等元的方法證明了在一定條件下˙D是S上的同余當(dāng)且僅當(dāng)˙L,˙R是S上的同余.

完全正則半群;半環(huán);Green關(guān)系;同余;Mal’cev積

1 引言

Green關(guān)系在半群理論發(fā)展過程中扮演著非常重要的角色,因此對(duì)于Green關(guān)系的研究是一項(xiàng)有意義的工作.文[1-2]詳細(xì)闡述了半群上的Green關(guān)系理論.顯然,半環(huán)的加法半群與乘法半群都有各自的Green關(guān)系.在文[3-4]中,趙憲鐘教授對(duì)冪等元半環(huán)的加法半群,乘法半群上的Green關(guān)系進(jìn)行了深入細(xì)致的研究.設(shè)S是乘法半群為完全正則半群的半環(huán),本文將給出S上的Green關(guān)系˙H,˙L,˙D是S上的半環(huán)同余的等價(jià)刻劃,并利用冪等元的方法證明了在一定條件下˙D是S上的半環(huán)同余當(dāng)且僅當(dāng)˙L,˙R是S上的半環(huán)同余.本文直接使用的定義,記號(hào)及相關(guān)結(jié)論參看文[1-2,5].

2 格林關(guān)系˙H˙L,˙D的刻劃

定義1半環(huán)(S,+,·)是指非空集合S上裝有兩個(gè)二元運(yùn)算“+”和“·”的(2,2)型代數(shù),且滿足條件:

(i)(S,+)和(S,·)是半群;

(ii)(?a,b,c∈S)(a+b)c=ac+bc和c(a+b)=ca+cb.

需要注意的是:對(duì)于一般半環(huán)而言,乘法運(yùn)算對(duì)加法運(yùn)算具有分配律,然而加法運(yùn)算對(duì)乘法運(yùn)算并不一定具有分配律,這樣就導(dǎo)致半環(huán)的加法半群與乘法半群的地位并不是完全對(duì)等的.環(huán)和分配格均是半環(huán)的特例.冪等元半環(huán)簇是比分配格更廣的半環(huán)類,即滿足附加恒等式x+x≈x2≈x半環(huán)的全體.這樣,冪等元半環(huán)S的加法半群(S,+)和乘法半群(S,·)都是帶.冪等元半環(huán)簇記為I.

帶簇,完全正則半群簇分別記為B,CR.若V為B的子簇,則用()表示乘法(加法)帶屬于V的冪等元半環(huán)簇;若V∈[B,CR],則用()表示乘法(加法)半群屬于V的半環(huán)簇.例如: ˙R表示乘法半群是矩形帶的冪等元半環(huán)簇,˙CR表示乘法半群是完全正則半群的半環(huán)簇.

3 Green-關(guān)系是半環(huán)同余與,是半環(huán)同余之間的關(guān)系

[1]Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford Science Publication,1995.

[2]Petrich M,Reilly N R.Completely Regular Semigroups[M].New York:A Wiley-Interscience Publication, 1999.

[3]Zhao X Z,Guo Y Q,Shum K P.D-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Colloquium, 2002,9:15-28.

[4]Zhao X Z,Shum K P,Guo Y Q.L-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Universalis, 2001,46:75-96.

[5]潘秀娟,邵勇,田俊華.乘法半群為正規(guī)純整群的半環(huán)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2005,21(1):76-79.

[6]Pastijn F,Zhao X Z.Varieties of idempotent semirings with commutative addition[J].Algebra Universalis, 2005,54:301-321.

The characterization of the Green relations on some semirings

ZHANG Juan-juan
(School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an710048,China)

Let S be a semiring with a completely regular multiplicative semigroup.The equivalent characterizations of which the Green relations˙H,˙L and˙D are semiring congruences on S are given.And the result that ˙D is a congruence on S if and only if˙L and˙R are congruences on S is proved under certain conditions by using the method of idempotent elements.

completely regular semigroups,semirings,Green relations,congruences,Mal’cev product

O152.7

A

1008-5513(2009)04-0716-05

2008-06-30.

國家自然科學(xué)基金(10471112),陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金(08JK432).

張娟娟(1979-),博士,研究方向：代數(shù)學(xué).

2000MSC:08A15