郭鵬飛,郭秀云

(1.上海大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200444;2.連云港師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系,江蘇連云港 222006)

弱s-置換性傳遞的有限群

郭鵬飛1,2,郭秀云1

(1.上海大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200444;2.連云港師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系,江蘇連云港 222006)

群G被稱為弱s-置換性傳遞的群,對(duì)于它的子群H和K,若H在K中弱s-置換, K在G中弱s-置換,則H在G中弱s-置換.本文給出弱s-置換性、弱s-補(bǔ)性傳遞的可解群的結(jié)構(gòu)以及每一子群在G中弱s-置換、弱s-補(bǔ)的群的結(jié)構(gòu).

弱s-置換子群;弱s-補(bǔ)子群;傳遞性;超可解

1 引言

本文所指的群均為有限群,所用符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的,主要取自文[1].

文[1]中的Dedekind和Bare確定出每一子群皆正規(guī)的群的結(jié)構(gòu),并稱之為Dedekind群.群G為Dedekind群當(dāng)且僅當(dāng)G或者為交換群,或者G=Q8×A×B成立(其中Q8是8階四元素群, A是奇階交換群,B是方次數(shù)為1或2的交換群).后來,文[2]確定出群G的每一子群均在G中擬正規(guī)的群的結(jié)構(gòu).近來,文[3]確定出每一子群皆c-正規(guī)的群的結(jié)構(gòu).

Dedekind群是滿足正規(guī)性傳遞的群(若H是K的正規(guī)子群,K是G的正規(guī)子群,則H是G的正規(guī)子群).但對(duì)于一般的群而言,這種性質(zhì)是不成立的.那么,滿足正規(guī)性傳遞的群的結(jié)構(gòu)就是人們感興趣的問題,這就是所謂的T-群.Gasch¨utz、Zacher、Agrawal分別給出可解T-群、可解PT-群(擬正規(guī)性傳遞)、可解SPT-群(s-擬正規(guī)性傳遞)的結(jié)構(gòu).群G是一個(gè)可解T-群(可解PT-群、可解SPT-群)的充要條件是G有一個(gè)奇階正規(guī)交換的Hall子群H使得G/H是一個(gè)Dedekind群(模冪零群、冪零群),并且G的每個(gè)元素在H上誘導(dǎo)一個(gè)冪自同構(gòu).文[3]證明了:群G為可解c-正規(guī)性傳遞的充要條件是G存在一個(gè)冪零正規(guī)子群H使得G/H為初等交換群,且G的每個(gè)元素在H上誘導(dǎo)一個(gè)冪自同構(gòu).

弱s-置換性、弱s-補(bǔ)性都是c-正規(guī)性的推廣,因此,本文考慮:每一子群在G中分別弱s-置換、弱s-補(bǔ)時(shí)G的結(jié)構(gòu),并且確定出:弱s-置換性、弱s-補(bǔ)性傳遞的可解群的結(jié)構(gòu).另外,這些結(jié)構(gòu)之間是否存在聯(lián)系我們也進(jìn)行了研究.

2 基本概念和引理

定義2.1[4]群G的子群H被稱為G的弱s-置換子群(弱s-補(bǔ)子群),若存在G的一個(gè)次正規(guī)子群(子群)N,使得HN=G且H∩N≤HsG,其中HsG是包含于H的群G的所有s-擬正規(guī)子群生成的群.

定義2.2群G被稱為弱s-置換性(弱s-補(bǔ)性)傳遞的群,對(duì)于它的子群H,K,若H在K中弱s-置換(弱s-補(bǔ)),K在G中弱s-置換(弱s-補(bǔ)),則H在G中弱s-置換(弱s-補(bǔ)).

引理2.1[4]設(shè)G為一個(gè)群且H≤K≤G.則

(1)若H是G的s-擬正規(guī)子群,則H是G的弱s-置換子群;

(3)若H是G的弱s-置換子群(弱s-補(bǔ)子群),則H是K的弱s-置換子群(弱s-補(bǔ)子群);

引理2.2[5]設(shè)G是一個(gè)群.則G是可解群的充要條件是G的每個(gè)極大子群都是G的c-正規(guī)子群.

引理2.3設(shè)G為一個(gè)群,H≤G且L≤Φ(H).若L是G的弱s-補(bǔ)子群,則L是G的s-擬正規(guī)子群且L≤Φ(G).

證明由假設(shè)可知,G存在一子群K,使得G=LK且L∩K≤LsG.由L≤Φ(H)得, H=H∩G=L(H∩K)=H∩K,那么L=LsG.即L是G的s-擬正規(guī)子群.若L?Φ(G),則G存在一極大子群M使得G=LM.然而H=H∩G=L(H∩M)≤M,那么G=LM=M,與假設(shè)矛盾,因此L≤Φ(G).

引理2.4設(shè)G是一個(gè)群且H≤G,則H是G的弱s-補(bǔ)子群當(dāng)且僅當(dāng)G存在一子群K,使得G=HK且H∩K=HsG.

證明(?)顯然.

(?)由定義可知,G存在一子群R,使得G=HR且H∩R≤HsG.若H∩R=HsG,則令R=K即可;若H∩R＜HsG,則令K=RHsG,那么G=HRHsG=HK且H∩K= H∩RHsG=HsG(H∩R)=HsG.

引理2.5[6]設(shè)G是一個(gè)群.則G是可補(bǔ)群的充要條件是G的每個(gè)Sylow子群都是初等交換群且G的每個(gè)主因子是循環(huán)群,其中可補(bǔ)群是指G每個(gè)子群在G中有補(bǔ).

3 弱s-置換性傳遞的有限群

定理3.1設(shè)G是一個(gè)群.若G的每個(gè)素?cái)?shù)冪階循環(huán)子群是G的弱s-補(bǔ)子群,則G為超可解群.

證明假設(shè)定理不真且設(shè)G為極小階反例.應(yīng)用引理2.1(3)即知,定理的假設(shè)對(duì)于G的每一真子群成立,從而G的每一真子群為超可解群.因此,由文[7]的定理7.5有

(1)G有一正規(guī)Sylow子群P,使得P/Φ(P)是G/Φ(P)的一個(gè)極小正規(guī)子群;

(2)Φ(P)≤Z(P).

下證Φ(P)的任一子群正規(guī)于G.

設(shè)x∈Φ(P)≤Φ(G).由假設(shè),G存在一子群T,使得G=〈x〉T且〈x〉∩T≤〈x〉sG,所以〈x〉=〈x〉sG,T=G.即〈x〉是G的s-擬正規(guī)子群.任取Q∈Sylp(G)(q/=p),則〈x〉Q=Q〈x〉.由于〈x〉是〈x〉Q的s-擬正規(guī)子群,所以〈x〉次正規(guī)于〈x〉Q.又〈x〉是〈x〉Q的Hall子群,故〈x〉〈x〉Q.由Q的任意性,NG(〈x〉)≥Op(G).再由〈x〉≤Z(P)即知,〈x〉G.由x的任意性,Φ(P)的任一子群正規(guī)于G.

設(shè)y∈PΦ(P).由假設(shè),G存在一子群K,使得G=〈y〉K且〈y〉∩K≤〈y〉sG.因?yàn)镻/Φ(P)是初等交換群且Φ(P)的任一子群正規(guī)于G,所以|〈y〉/〈y〉sG|≤p.

若|〈y〉/〈y〉sG|=1,則〈y〉=〈y〉sG是G的s-擬正規(guī)子群,那么〈y〉Φ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的s-擬正規(guī)子群.

若|〈y〉/〈y〉sG|=p,由引理2.4,G存在一子群K1,使得G=〈y〉K1且〈y〉∩K1=〈y〉sG,那么|G:K1|=p且K1G.因此

這說明P/Φ(P)的每個(gè)循環(huán)子群是G/Φ(P)的弱s-補(bǔ)子群.

另外,對(duì)于G的每個(gè)階為qα(q/=p)的循環(huán)子群H來說,由引理2.1(4),HΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的弱s-補(bǔ)子群.因此,G/Φ(P)滿足定理?xiàng)l件.

若Φ(P)/=1,由G的極小性,G/Φ(P)為超可解群.由于Φ(P)≤Φ(G),所以G/Φ(G)是超可解群,那么G是超可解群,矛盾.

若Φ(P)=1,則P是初等交換群.若|P|=p,則G/P是超可解群,那么G已是超可解群,故可設(shè)|P|≥p2.任取c∈P且|c|=p.由假設(shè),G存在一子群R,使得G=〈c〉R且〈c〉∩R≤〈c〉sG.

若〈c〉=〈c〉sG,即〈c〉是G的s-擬正規(guī)子群.任取Q∈Sylp(G)(q/=p),易證NG(〈c〉)≥Op(G).又由P的交換性即知,〈c〉G,與P的極小正規(guī)性矛盾,因此〈c〉sG=1.

由于弱s-置換子群必是弱s-補(bǔ)子群,所以可以得到下面這個(gè)結(jié)果.

推論3.1設(shè)G是一個(gè)群.若G的每個(gè)素?cái)?shù)冪階循環(huán)子群是G的弱s-置換子群,則G為超可解群.

定理3.2設(shè)G為一個(gè)群,則下列命題等價(jià):

(1)G是弱s-置換性傳遞的可解群;

(2)G的每個(gè)子群都是弱s-置換子群;

(3)G的每個(gè)素?cái)?shù)冪階循環(huán)子群都是弱s-置換子群;

(4)G存在一個(gè)冪零正規(guī)子群H使得G/H為初等交換群,且H中的每個(gè)子群在G中s-擬正規(guī).

(2)?(1)由推論3.1即知.

(2)?(3)顯然.

(3)?(4)由推論3.1,G是超可解群,故G'是冪零群,從而H=G'Φ(G)是冪零群.由G'≤H可知,G/H為交換群.對(duì)G的每個(gè)Sylow子群P,由引理2.3,Φ(P)的每個(gè)子群s-擬正規(guī)于G且Φ(P)≤Φ(G),故G/H的每個(gè)Sylow子群初等交換,從而G/H初等交換.

下證Φ(G)G'的每個(gè)子群在G中s-擬正規(guī).

任取x∈Φ(G)G'.由題設(shè)可知,〈x〉在G中弱s-置換,故存在G的次正規(guī)子群N,使得G=〈x〉N且〈x〉∩N≤〈x〉sG.若〈x〉不是G的s-擬正規(guī)子群,則N為G的真子群,故存在G的極大正規(guī)子群M使得N≤M.由于G/M=〈x〉M/M～=〈x〉/〈x〉∩M是交換群,故G'≤M,從而G=〈x〉N=(Φ(G)G')N=G'N≤M,矛盾,因而Φ(G)G'的每個(gè)循環(huán)子群〈x〉在G中s-擬正規(guī),故Φ(G)G'的每個(gè)子群在G中s-擬正規(guī).

(4)?(2)設(shè)A為G的任意子群,若A≤H,則A是G的s-擬正規(guī)子群.若A?H且AH=G,則A∩H是G的s-擬正規(guī)子群,故A∩H≤AsG;若A?H且AH＜G,則存在G的正規(guī)子群N使得G/H=(AH/H)×(N/H),G=AN且A∩N≤H,故A∩N是G的s-擬正規(guī)子群,從而A∩N≤AsG,因此G的每個(gè)子群在G中弱s-置換.

4 弱s-補(bǔ)性傳遞的有限群

下面先給出一個(gè)滿足弱s-補(bǔ)性傳遞的非可解群.

例4.1設(shè)G=Z2(Z3S),其中S為Suzuki單群Sz(2q),q是奇素?cái)?shù),|S|=(22q+ 1)22q(2q?1),Z2,Z3分別是2階,3階循環(huán)群．

由文[7]可知,Sz(2q)的子群為：1)Frobenius群,Sylow 2-子群的正規(guī)化子,階為22q(2q?1); 2)二面體群,階為2(2q?1),(含2q?1階循環(huán)子群);3)22(2q±2(q+1)/2+1)階群,含2q±2(q+1)/2+1階循環(huán)子群,整個(gè)群為此循環(huán)子群的正規(guī)化子．由于S中無非平凡正規(guī)子群,所以S中非平凡弱s-補(bǔ)子群H在S中有補(bǔ)．設(shè)S=HK且H∩K=1,則|S|=|H||K|.由S的子群的階可知,S中不存在這樣的子群,所以S是G的極小弱s-補(bǔ)子群.由G的定義關(guān)系易知,G是非可解的弱s-補(bǔ)性傳遞的群．

定理4.1設(shè)G為一個(gè)群,則下列命題等價(jià):

(1)G是弱s-補(bǔ)性傳遞的可解群;

(2)G的每個(gè)子群都是G的弱s-補(bǔ)子群;

(3)G的每個(gè)素?cái)?shù)冪階循環(huán)子群都是G的弱s-補(bǔ)子群;

(4)G是超可解群,G/Φ(G)的每一Sylow子群是初等交換群且Φ(G)的每個(gè)子群在G中s-擬正規(guī).

證明由引理2.2及定理3.1即知,(1)?(2).

(2)?(3)顯然.

(3)?(4)由定理3.1,G是超可解群.任取P∈Sylp(G).由引理2.3,Φ(P)≤Φ(G).任取PΦ(G)/Φ(G)∈Sylp(G/Φ(G)),則

是初等交換群.易證Φ(G)的每個(gè)子群在G中s-擬正規(guī).

(4)?(2)顯然,Φ(G)的每個(gè)子群在G中弱s-補(bǔ).設(shè)A為G的任意子群,A?Φ(G)且AΦ(G)＜G.由引理2.5,存在G的子群N≥Φ(G),使得

這說明G=AN,A∩N≤Φ(G),所以A∩N是G的s-擬正規(guī)子群,從而A∩N≤AsG,因此,G的每個(gè)子群在G中弱s-補(bǔ).

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Finite groups in which having weakly s-permutable transitivity property

GUO Peng-fei1,2,GUO Xiu-yun1

(1.Department of Mathematics,Shanghai University,Shanghai200444,China;
2.Department of Mathematics,Lianyungang Teachers College,Lianyungang222006,China)

A finite group G is called having weakly s-permutable transitivity property if,for subgroups H and K with H weakly s-permutable in K and K weakly s-permutable in G,it is always the case that H weakly s-permutable in G.In this paper,the structure of finite solvable groups whose subgroups having transitivity property on weakly s-permutable subgroups,weakly s-supplemented subgroups,respectively are further studied.Finally,the structure of a finite group G whose subgroups having weakly s-permutable property,weakly s-supplemented property,respectively are described.

weakly s-permutable subgroups,weakly s-supplemented subgroups,transitivity property,supersolvable

O152.1

A

1008-5513(2009)04-0649-05

2008-05-11.

國家自然科學(xué)基金(10771132),SGRC(GZ310),江蘇省高?！扒嗨{(lán)工程”資助項(xiàng)目(2006).

郭鵬飛(1972-),博士,副教授,研究方向：群論.

2000MSC:20D10,20D20