陳以平,謝君輝

(1.湖北民族學(xué)院理學(xué)院,湖北恩施 445000;2.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,湖南長沙 410081)

具有脈沖擾動(dòng)和非單調(diào)功能反應(yīng)的三種群捕食系統(tǒng)的分析

陳以平1,謝君輝2

(1.湖北民族學(xué)院理學(xué)院,湖北恩施 445000;2.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,湖南長沙 410081)

研究一類具有脈沖效應(yīng)和非單調(diào)功能反應(yīng)的兩個(gè)捕食者一個(gè)食餌害蟲控制系統(tǒng).通過脈沖微分方程的Floquet理論和小幅擾動(dòng)方法,證明了當(dāng)脈沖周期小于某個(gè)臨界值時(shí),系統(tǒng)存在一個(gè)漸近穩(wěn)定的害蟲根除周期解,否則系統(tǒng)是持續(xù)生存的.最后,通過數(shù)值實(shí)例,給出了一簡單討論.

兩個(gè)捕食者一個(gè)食餌模型；脈沖作用；滅絕性；持續(xù)生存

1 引言

害蟲控制是關(guān)系到經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一個(gè)非常重要的問題.防治害蟲的方法很多,其中綜合害蟲管理(IPM)是一套害蟲治理系統(tǒng),這個(gè)系統(tǒng)考慮到以較低的成本和對環(huán)境較小的影響,利用所有適當(dāng)?shù)姆椒?包括生物的、化學(xué)的策略)盡可能相互配合的方式,將害蟲控制在可容忍的水平以下.基于IPM策略,近些年來,國內(nèi)外不少學(xué)者相繼提出了一系列模型來討論害蟲管理問題[15].由于害蟲的天敵往往不只一種,而研究脈沖投放多個(gè)天敵的多種群捕食系統(tǒng)的相關(guān)報(bào)道很少.本文將考慮一類具固定時(shí)刻脈沖和非單調(diào)功能反應(yīng)函數(shù)的兩個(gè)捕食者一個(gè)食餌系統(tǒng),模型形式如下

這里,x(t)表示食餌(害蟲)在時(shí)刻t的種群密度,yi(t)(i=1,2)分別表示兩個(gè)捕食者(天敵)在時(shí)刻t的種群密度,a10是食餌內(nèi)稟增長率,a11是食餌的密度制約系數(shù),a20,a30分別是兩個(gè)捕食者的死亡率,0≤pi＜1(i=1,2,3)為每次噴灑農(nóng)藥而減少的害蟲和天敵的比例,ui＞0(i=1,2)是每次投放的天敵數(shù)量,T是脈沖效應(yīng)的周期,n∈Z+,Z+= {1,2,3,…},?x(t)=x(t+)?x(t),?yi(t)=yi(t+)?yi(t)(i=1,2),a13,a14,a23,a34,a均為正常數(shù),a1ix(t)/(a+x2(t))(i=3,4)是功能性反應(yīng)函數(shù).滅絕與持續(xù)生存在生態(tài)系統(tǒng)的研究上是兩個(gè)非常重要的概念,本文將研究系統(tǒng)(1)的滅絕與持續(xù)生存性.

2 基本引理

3 滅絕與持續(xù)生存

下面考慮系統(tǒng)(1.1)的永久持續(xù)生存性,先給出其定義.

定義3.1如果存在不依賴于系統(tǒng)初值的常數(shù)M≥m＞0和有限時(shí)間T0,使得系統(tǒng)(1.1)所有初值為x(0+)＞0,yi(0+)＞0(i=1,2)的解(x(t),y1(t),y2(t)),當(dāng)t≥T0時(shí),都有m≤x(t)≤M,m≤yi(t)≤M(i=1,2),則稱系統(tǒng)(1.1)是一致持續(xù)生存的.

4 討論

本文基于害蟲管理的生物控制和化學(xué)控制策略,提出并研究了一類具有脈沖效應(yīng)和非單調(diào)功能反應(yīng)的兩個(gè)捕食者一個(gè)食餌系統(tǒng).證明了當(dāng)脈沖周期小于某個(gè)臨界值時(shí),系統(tǒng)存在一個(gè)局部漸近穩(wěn)定的害蟲根除周期解,否則系統(tǒng)是持續(xù)生存的.下面通過數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性.例:取系統(tǒng)(1.1)中的參數(shù)值為a10=0.9,a20=0.7,a30=0.8,p1=0.2, p2=0.05,p3=0.05,u1=0.2,u2=0.2,a=0.1,a13=0.9,a23=0.9,a14=0.8,a34=0.7, a11=0.8,x(0)=0.5,y1(0)=y2(0)=0.1,由定理3.1及定理3.2中的條件,直接計(jì)算得臨界閥值Tmax≈5.322 2.若取T=5.25,數(shù)值模擬結(jié)果表明食餌種群x(t)趨于滅絕,捕食者種群y1(t),y2(t)周期振蕩(見圖1)；若取T=5.4,數(shù)值模擬結(jié)果表明食餌種群x(t)和捕食者種群y1(t),y2(t)共存于一個(gè)T-周期軌道上(見圖2).

圖1 當(dāng)T=5.25時(shí),各種群的時(shí)間序列圖

圖2 當(dāng)T=5.4時(shí)的相圖

另外,如果只采取化學(xué)控制,即ui=0,i=1,2,其它參數(shù)不變,則Tmax≈0.247 9,這表明要噴灑更多的殺蟲劑,才能使害蟲根除;如果只采取生物控制,即pi=0,i=1,2,3,其它參數(shù)不變,Tmax≈5.0794,這表明要釋放更多的天敵,才能使害蟲根除.因此,考慮到殺蟲劑對環(huán)境的污染,害蟲的抗藥性以及天敵的數(shù)量、釋放天敵的成本等因素,綜合害蟲管理是最有效的.

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A nalysis of a three-species predator-p rey system with im pulsive pertu rbations and non-monotonic functional response

CHEN Yi-ping1,XIE Jun-hui2

(1.School of Science,Hubei Institute for Nationalities,Enshi 445000,China; 2.Department of Mathematics,Hunan Normal University,Changsha 410081,China)

A two-predator one-prey system with im pulsive effect and non-monotone functional response for pest control is p roposed and analyzed.By using the Floquet theory of im pu lsive differential equation and sm all am p litude perturbation skills,it is proved that there exists an asym ptotically stable pest-eradication periodic solution when the im pu lsive period is less than some critical value.O therw ise,the system can be perm anent. Lastly,a brief discussion are given by num erical simu lation.

two-predator one-p rey system,im pulsive effect,extinction,permanence

O175.12

A

1008-5513(2009)02-0332-07

2007-09-04.

湖北省教育廳科研項(xiàng)目(B 20082905),湖北省高等學(xué)校優(yōu)秀中青年團(tuán)隊(duì)計(jì)劃項(xiàng)目(T 200804).

陳以平(1966-),副教授,研究方向：微分方程理論及應(yīng)用、生物數(shù)學(xué).

2000M SC:34D 05,34D 20