姜 敏

[摘要]小波變換可以用來取代短時DFT,已經(jīng)成為數(shù)字信號處理(DSP)的主流部分。在數(shù)字信號處理中,小波的尺度和頻率有密切的關(guān)系。分析多個信號時不存在交差項的干擾,能夠克服時頻分布固有的缺點。

[關(guān)鍵詞]小波變換信號頻率

中圖分類號:TM1文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1671-7597(2009)1210038-01

像Fourier序列一樣,小波變換也是把一個信號分解成它的分量,對Fourier序列來說,分量是正弦和余弦(或等價的復(fù)指數(shù)),對小波變換來說,分量是小波。

小波變換對分析時變信號特別有用,也就是說特征隨時間變化的信號。DFT不能將特性隨時間變化的信號(即非平穩(wěn)信號)與特性不隨時間變化的信號(即平穩(wěn)信號)區(qū)分開來。雖然采用較短的窗可以改進DFT對非平穩(wěn)信號的分析能力,但牽連到分辨率的問題。如果采樣頻率保持不變,窗越短采樣點就越少,這意味著DFT不能夠提供更多關(guān)于信號真實頻率的細節(jié),較短的窗意味著好的時間分辨率,因為它提供非常局部的細節(jié),但是頻率分辨率很差,這是因為觀測信號特性的時間太短。提高頻率分辨率唯一的方法就是將窗加長,但這樣一來又降低了時間分辨率,因為DFT不能精確地描述窗內(nèi)的信號特性。因此,好的時間分辨率和好的頻率分辨率不可能同時達到。除了選擇合適的窗長度這個問題之外,若沒有大量關(guān)于信號的信息,選取合適的窗邊界位置也是很困難的。所以試圖用多個窗來處理非平穩(wěn)信號是困難和不切實際的。

小波分析方法是一種窗口大小(即窗口面積)固定但形狀可改變,時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法。信號分析一般是為了獲得時間和頻率域之間的相互關(guān)系。傅立葉變換提供了有關(guān)頻率域的信息,但時間方面的局部化信息卻基本丟失。與傅立葉變換不同,小波變換通過平移母小波(Mother Wavelet)可獲得信號的時間信息,而通過縮放小波的寬度(或者叫做尺度)可獲得信號的頻率特性。對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波的系數(shù),這些系數(shù)代表小波和局部信號之間的相互關(guān)系。

小波變換可以用來取代短時DFT,已經(jīng)成為數(shù)字信號處理(DSP)的主流部分。小波變換的最主要的特點是,它用不同的分辨率分析信號中不同的頻率分量。對于高頻分量采用好的時間分辨率,因為信號變化非常快,重要的是要了解信號的高頻分量何時出現(xiàn)何時消失。這相當(dāng)于采用一個窄的窗,意味著頻率分辨率將相對較差。對于低頻信號分量,由于信號變化慢,較低的時間分辨率是可以接受的。這相當(dāng)于采用一個寬的窗,意味著較長的信號采樣時間和較好的頻率分辨率,而這是有好處的,因為如此大量的信息使得以較低頻率出現(xiàn)的聲音能夠識別。

為了實現(xiàn)在不同頻率上的不同分辨率,需要不同尺度的函數(shù)概念。就像地圖上的比例尺一樣,小的尺度顯示細節(jié),而大的尺度只顯示總的特征。函數(shù)的尺度變換形式是函數(shù),對于任何尺度s。當(dāng)時,得到一個較低頻率的函數(shù):它表示基尺度的擴大,能夠描述信號緩慢變化的趨勢。當(dāng) 時,得到一個較高頻率的函數(shù),基尺度的縮小能夠描述快速變化信號的細節(jié)。尺度是與頻率成反比的。也就是說對某一個常數(shù),尺度=/頻率。

下面舉例說明用小波變換分析信號時頻分布問題的優(yōu)點。假設(shè)一個線性調(diào)頻信號,它是信號處理中廣泛應(yīng)用的信號形式,我們可以用小波變換提取它的頻率參數(shù)。信號的頻率在時間間隔64s內(nèi)從0.1變化到0.5,信號采樣數(shù)目N=500。定義偽頻率(pseudo-frequencies)為根據(jù)小波尺度A,小波函數(shù)name和采樣間隔計算出的頻率。下面是從理論上得出的小波變換提取的偽頻率與信號實際頻率的關(guān)系。

對一個線性調(diào)頻信號,頻率平滑地從0.1變化到0.5。連續(xù)小波變換是信號時-頻分析的另一種重要工具。它的時頻窗在低頻時自動變寬,而在高頻時自動變窄,具有自動變焦作用。結(jié)果,在很短暫的高頻現(xiàn)象上,小波變換能比窗口Fourier變換更好地“移近”觀察。

利用小波處理工具箱scal2frq、cwt、centfrq等函數(shù)對上述過程進行仿真,分別畫出時間-尺度圖,和時間-頻率圖,如圖1所示,這里只畫出了它的2維等高線圖(Contour)。由圖可以看出線性調(diào)頻信號的頻率變化為0.1～0.5Hz,與實際信號一致,利用小波得出了信號的參數(shù)?？墒欠直媛蔬€不令人滿意,利用多層分解也許會解決這個問題。

圖1(a) LFM信號時間-尺度圖圖1(b) LFM信號時間-頻率圖

短時Fourier變換、小波變換和Gabor變換是三種線性的時頻表示,他們使用時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)(取線性變換形式)描述信號的頻譜隨時間的變化情況。時頻分布是非平穩(wěn)的一種非線性變換,使用時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)來描述信號的能量密度隨時間變化的情況。非平穩(wěn)信號的這種“能量化”表示簡稱為信號的時頻分布。

利用Wigner-Ville時頻分布(WVD)、連續(xù)小波變換(CWT)估計出的兩個LFM信號的時頻等高線圖,分別如圖2(a)、圖2(b)所示。

圖2(a) WVD得出的兩個LFM信號時頻圖

圖2(b) CWT得出的兩個LFM信號時頻圖

從上面的圖形可以看出,在數(shù)字信號處理中,小波的尺度和頻率有密切的關(guān)系,且由于小波是一種線性的時頻表示,當(dāng)分析多個信號時不存在交差項的干擾,能夠克服時頻分布固有的缺點。當(dāng)分析相位編碼信號和多相信號等由于交叉項影響很難提取信號參數(shù)的問題時,好處顯而易見。