李希森

所謂數(shù)學(xué)開放題，是指題中條件不足或多余，或者結(jié)論隱去或不確定，或者解題有多種策略，或者只給出問題情景，對解題的限制很少，但要求盡可能多地得出不同的答案，這就給學(xué)生創(chuàng)新思維創(chuàng)設(shè)了寬松、自由的環(huán)境。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生必須調(diào)動自己的知識儲備，積極開展智力活動，用多種的思維方式(如觀察、聯(lián)想、猜測、直覺、類比、綜合、發(fā)散等)思考和探索。用開放題作為載體，除了能進(jìn)一步加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的理解和掌握外，還能進(jìn)一步鞏固和深化，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，使其養(yǎng)成獨(dú)立思考、勇于探索的良好習(xí)慣，并在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

1、探究問題解決的多種策略，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思路寬廣，善于多角度、多方位、多層次地進(jìn)行探究，表現(xiàn)為既把握數(shù)學(xué)問題的整體，抓住它的基本特征，又抓住重要的細(xì)節(jié)和特殊因素，拓寬思路進(jìn)行思考，用盡可能多的方法解決同一個問題，即幫助學(xué)生掌握解決問題的多種策略。這樣既挖掘?qū)W生的潛能，又激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，開闊視野，優(yōu)化思維品質(zhì)。

如在三角形的綜合復(fù)習(xí)后，為了讓學(xué)生嘗試問題解決的多種策略，筆者給他們出了以下問題。

如圖1所示，河邊有一條筆直的公路，公路的兩側(cè)是平坦的草地。要測量河對岸B點(diǎn)到公路的距離，請設(shè)計一個方案。要求：1)列出測量所使用的工具；2)畫出測量示意圖，寫出測量步驟；3)用字母表示測得的數(shù)據(jù)，求出點(diǎn)B到公路的距離。

出示問題后，學(xué)生積極性很高，大多能動手畫圖設(shè)計，歸納起來有下列幾種方法(圖略)。

1)在公路I上取點(diǎn)A、O，使∠BAO＝90°。延長BA到C，使得∠BOA＝∠COA，量得AC的長即為所求。依據(jù)∠BA0＝∠CAO，AO＝AO，∠BOA＝∠COA，所以△BOA≌∠COA，AC＝AB。依據(jù)∠BAO＝∠CAO＝90°，∠BOA＝∠COA，則△OBC是等腰三角形，所以AC＝AB。

2)在公路1上取點(diǎn)A、O，使∠BAO＝90°，延長AO到D，使OA＝OD。作DE⊥AD，并使E、O、B在同一直線上，量得DE長即為所求。依據(jù)△BOA≌△EOD，AB＝DE。

3)在公路1上取點(diǎn)A、O，使∠BAO＝90°，延長AO到D，使2OD＝OA。作DE⊥AD，并使E、O、B在同一直線上，量得DE長，DE的2倍即AB，依據(jù)是△BOA∽△EOD。

4)在公路1上取點(diǎn)A、O，使∠BAO＝90°，使∠AOB＝45°，量得AO的長即為所求。Rt△BOA是等腰三角形，BA＝OA，tan45°＝BA/OA＝1，BA＝OA(∠AOB可以為任意銳角)。

各方法的測量工具：皮尺、測角儀、標(biāo)桿。

通過探索解題方法，復(fù)習(xí)全等三角形、等腰三角形、相似三角形、三角函數(shù)等知識，學(xué)生的知識點(diǎn)被鞏固，思維被擴(kuò)展。

2、探究一個問題的多種結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，會碰到很多結(jié)論不確定或不唯一的開放題，學(xué)生在解這類題的時候也顯得很盲從，或者不能完整地解決問題。為此，教師要設(shè)計一些結(jié)論開放的數(shù)學(xué)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，進(jìn)而提高他們分析問題、探索和解決問題的能力。

3、探究一個問題的多種變式，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)教學(xué)中思維的創(chuàng)造性是指完成思維的內(nèi)容、途徑和方法的自主程度，并獨(dú)立思考創(chuàng)造出有一定新穎的成分，表現(xiàn)為思維不循規(guī)蹈矩，勇于創(chuàng)新。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)想，根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行探索創(chuàng)造，尋找規(guī)律。如在四邊形的復(fù)習(xí)中，為了讓學(xué)生充分認(rèn)識特殊四邊形的性質(zhì)、判定和靈活應(yīng)用，筆者從一個傳統(tǒng)的幾何問題“連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是平行四邊形”出發(fā)，通過改變問題的條件進(jìn)行變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握有關(guān)概念，并分清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

教學(xué)中問題的不斷變化引起學(xué)生極大的探究愿望，根據(jù)條件的不斷變化，靈活地改變解題策略，積極通過猜想和證明的方法來解決問題，并在解題的過程中輕松地鞏固概念。同時，學(xué)生通過觀察和總結(jié)，進(jìn)一步拓展：

“要使順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形或菱形或矩形或正方形，那么對原來的四邊形有哪些不同要求?”

學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是前人的知識結(jié)晶，但學(xué)生卻處在再發(fā)現(xiàn)的地位，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動仍具有發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的性質(zhì)，對他們來說仍是新鮮的，有開創(chuàng)的因素。只要有新的思想、新的觀念、新的設(shè)計、新的方法，就稱得上創(chuàng)造。

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，就是要求教師從問題出發(fā)，抓住教學(xué)內(nèi)容內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)，以開放的思想引領(lǐng)學(xué)生，以開放性的問題啟發(fā)學(xué)生，為學(xué)生提供廣闊的空間，提高學(xué)生的探究意識，開發(fā)學(xué)生的思維潛能，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)．