劉 品

摘要:中國(guó)是人類數(shù)學(xué)最早的發(fā)源地之一。在古代世界四大文明中,中國(guó)數(shù)學(xué)有著光輝的歷史,它所持續(xù)的繁榮時(shí)期也是最為長(zhǎng)久的。中國(guó)古代在數(shù)學(xué)方面的許多領(lǐng)域內(nèi)都取得了輝煌的成就,曾處于世界遙遙領(lǐng)先的地位。本文主要論述中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展史,著重介紹中國(guó)古代數(shù)學(xué)各個(gè)時(shí)期的發(fā)展情況,略帶介紹近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞:中國(guó);古代數(shù)學(xué);發(fā)展

一、 中國(guó)古代數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展與衰退

我國(guó)數(shù)學(xué)的早期萌芽與原始社會(huì)的形成緊密相連,當(dāng)時(shí)人們的各種實(shí)踐活動(dòng)和智力的發(fā)展促使了數(shù)學(xué)的發(fā)生。數(shù)概念的起源是我國(guó)數(shù)學(xué)起源的開(kāi)始,可追溯到原始社會(huì)。私有制和貨物交換的產(chǎn)生,使數(shù)與形的概念有了發(fā)展。在出土的仰韶文化時(shí)期的陶器上面,已刻有表示1、2、3、4的符號(hào),標(biāo)志文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。商中期,據(jù)《易·系辭》記載:“上古結(jié)繩而治,后世圣人易之以書契”。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字,從一到十,百、千、萬(wàn)是專用的記數(shù)文字。與此同時(shí),殷人用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個(gè)名稱來(lái)記60天的日期;在周代,又把以前用陰、陽(yáng)符號(hào)構(gòu)成的八卦表示8種事物發(fā)展為六十四卦,表示64種事物。春秋戰(zhàn)國(guó)之際,籌算已得到普遍應(yīng)用。用算籌記數(shù),有縱、橫兩種方式。表示一個(gè)多位數(shù)字時(shí),采用十進(jìn)位值制,各位值的數(shù)目從左到右排列,縱橫相間,并以空位表示零。這種記數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的,使得這個(gè)時(shí)期的測(cè)量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用。這時(shí)期,對(duì)于圖形也有許多定義與使用,如:半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方,確定平直,人們創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測(cè)量工具。據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載,夏禹治水時(shí)已使用了這些工具。公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法,并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子。

《禮記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從9歲開(kāi)始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法,他們要受禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)的訓(xùn)練,作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開(kāi)始成為專門的課程。

戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,尤其是對(duì)于證明和一些命題的爭(zhēng)論直接與數(shù)學(xué)有關(guān),一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。如《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和命題,例如:圓,“圓,一中同長(zhǎng)也”;平,“平,同高也”;方、直、次(相切)、端(點(diǎn))等等,也給出了數(shù)學(xué)定義?！肚f子》記載了惠施等人的名家學(xué)說(shuō)和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題,強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想。名家的命題論述了有限長(zhǎng)度可分割成一個(gè)無(wú)窮序列,墨家的命題則指出了這種無(wú)限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論,對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。

秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期,經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展。中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系在這個(gè)時(shí)期正式形成,數(shù)學(xué)方面的書籍陸續(xù)出現(xiàn)。如:漢簡(jiǎn)《算數(shù)書》,成書年代于公元前186年?！吨荀滤憬?jīng)》,西漢末年編撰。在數(shù)學(xué)方面的主要貢獻(xiàn)有兩項(xiàng):(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)測(cè)太陽(yáng)高、遠(yuǎn)的陳子測(cè)日法,是后來(lái)重差術(shù)(勾股測(cè)量法)的先驅(qū)。此外,還有較復(fù)雜的開(kāi)方問(wèn)題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。還有《九章算術(shù)》,是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié),是經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,成書大約在東漢初年。全書采用問(wèn)題集的形式編寫,共收集了246個(gè)問(wèn)題及其解法,分屬于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。在代數(shù)方面,《方程》章中引入負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則。它采用按類分章的數(shù)學(xué)問(wèn)題集的形式,算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來(lái)的;以算術(shù)、代數(shù)為主,很少涉及圖形性質(zhì);重視應(yīng)用,缺乏理論闡述等?！毒耪滤阈g(shù)》中的數(shù)學(xué)概念在世界數(shù)學(xué)史上遙遙領(lǐng)先,對(duì)世界數(shù)學(xué)的進(jìn)展起到了促進(jìn)作用。

進(jìn)入魏晉時(shí)期,中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。三國(guó)吳人趙爽注《周髀算經(jīng)》,在《周髀算經(jīng)》書中補(bǔ)充“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”,他是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注,魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注,繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家和墨家的思想,對(duì)數(shù)學(xué)名詞及重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義,認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須進(jìn)行“析理”,才能使數(shù)學(xué)著作簡(jiǎn)明嚴(yán)密,利于讀者。創(chuàng)造割圓術(shù),利用極限的思想證明圓的面積公式,并首次用理論的方法算得圓周率為157/50和3927/1250。還用無(wú)窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1,解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí),劉徽為徹底解決球的體積指出了正確途徑。他們的工作,被認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系的開(kāi)端。

而祖沖之父子在劉徽注《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上,把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。據(jù)推測(cè),祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上,算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積,他又用新的方法得到圓周率兩個(gè)分?jǐn)?shù)值,即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作,使中國(guó)在圓周率計(jì)算方面,比西方領(lǐng)先約一千年之久。祖沖之之子總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作,提出“冪勢(shì)既同則積不容異”,即等高的兩立體,若其任意高處的水平截面積相等,則這兩立體體積相等。這個(gè)公理,解決了劉徽尚未解決的球體積公式。

隋唐時(shí)期,隋煬帝好大喜功,大興土木,客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》,主要討論土木工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題,反映了這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的情況。656年國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館,設(shè)有算學(xué)博士和助教,學(xué)生30人,由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書》,作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。李淳風(fēng)等編纂的《算經(jīng)十書》,對(duì)保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的。

從11～14世紀(jì)約300年期間,籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛,中國(guó)古代數(shù)學(xué)空前繁榮,碩果累累。這一時(shí)期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》實(shí)現(xiàn)了從開(kāi)平方、開(kāi)立方到四次以上的開(kāi)方,這在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開(kāi)平方法”“增乘開(kāi)立方法”;根據(jù)記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)系數(shù)表,創(chuàng)造了增乘開(kāi)方法。這兩項(xiàng)成就對(duì)整個(gè)宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響,其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出六百多年。劉益的《議古根源》,得到了增乘開(kāi)方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負(fù)的情形)解法,秦九韶的《數(shù)書九章》,是高次方程解法的集大成者,在《數(shù)書九章》中收集了21個(gè)用增乘開(kāi)方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問(wèn)題。在求根的第二位數(shù)時(shí),秦九韶還提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的第二位數(shù)的試除法,這比西方最早的霍納方法早五百多年。李冶著有《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》,《測(cè)圓海鏡》是現(xiàn)存最早的天元術(shù)著作。(中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào),用天元(相當(dāng)于x)作為未知數(shù)符號(hào),立出高次方程,并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決,古代稱之為天元術(shù)。)他也對(duì)勾股容圓問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)研究,得到9個(gè)容圓公式,大大豐富了中國(guó)古代幾何學(xué)的內(nèi)容。楊輝著有《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》,《楊輝算法》中“田畝比類乘除捷法”卷,介紹了原書中22個(gè)二次方程和1個(gè)四次方程,是用增乘開(kāi)方法解三次以上的高次方程的最早例子。從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組,是宋元數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)杰出創(chuàng)造,對(duì)這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,他把常數(shù)放在中央,四元的各次冪放在上、下、左、右四個(gè)方向上,其他各項(xiàng)放在四個(gè)象限中。朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法,這是線性方法組解法的重大發(fā)展,比西方同類方法早四百多年。在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,補(bǔ)充了《九章算術(shù)》的不足。

在宋元時(shí)期,中國(guó)古代計(jì)算技術(shù)出現(xiàn)改革。從宋元明的歷史文獻(xiàn)中可看到,實(shí)用算術(shù)書目數(shù)量遠(yuǎn)比唐代為多,改革的主要內(nèi)容仍是乘除法。與算法改革的同時(shí),穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。元代完成了珠算的算法和口訣。

從十四世紀(jì)中葉明王朝建立到明末的1582年,中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)了停滯的現(xiàn)象,甚至在走向衰落,數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面。在這期間,中國(guó)數(shù)學(xué)非但沒(méi)有充分發(fā)展,連古代數(shù)學(xué)成就都難以為繼,幾近失傳。明代珠算普及,出現(xiàn)了許多珠算讀本,及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》[1592]問(wèn)世,珠算理論已成系統(tǒng),標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。但由于珠算流行,籌算幾乎絕跡,建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳,使中國(guó)的數(shù)學(xué)出現(xiàn)長(zhǎng)期停滯。還有許多其他原因,使中國(guó)數(shù)學(xué)開(kāi)始落后于西方。

二、 中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)及西方數(shù)學(xué)對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)的影響

中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)始于清末民初的留學(xué)活動(dòng)。留學(xué)生們回國(guó)后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家,為中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展作出重要貢獻(xiàn),推動(dòng)了各地大學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)展。北京大學(xué)1912年成立時(shí)建立數(shù)學(xué)系,到1932年,各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1930年,熊慶來(lái)在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部,開(kāi)始招收研究生,陳省身、吳大任成為國(guó)內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。上世紀(jì)30年代出國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵、陳省身、華羅庚等人,他們都成為中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。同時(shí),外國(guó)數(shù)學(xué)家也有來(lái)華講學(xué)的。1936年,《中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)》和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問(wèn)世,這些標(biāo)志著中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。在分析學(xué)方面、數(shù)論與代數(shù)方面、幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面取得了許多成果。新中國(guó)成立后,數(shù)學(xué)研究取得長(zhǎng)足進(jìn)步。上世紀(jì)50年代初期出版了華羅庚的《堆棧素?cái)?shù)論》、蘇步青的《射影曲線概論》、陳建功的《直角函數(shù)級(jí)數(shù)的和》和李儼的《中算史論叢》5集等專著。除了在數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)?、函?shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)史等學(xué)科繼續(xù)取得新成果外,還在微分方程、計(jì)算技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等分支有所突破,有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平,同時(shí)培養(yǎng)和成長(zhǎng)起一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。1973年,陳景潤(rùn)在《中國(guó)科學(xué)》上發(fā)表《大偶數(shù)表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》的論文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外,中國(guó)數(shù)學(xué)家在函數(shù)論、馬爾可夫過(guò)程、概率應(yīng)用、運(yùn)籌學(xué)、優(yōu)選法等方面也有一定創(chuàng)見(jiàn)。中國(guó)的近代數(shù)學(xué),受外國(guó)影響很大。1582年,意大利傳教士利瑪竇來(lái)到中國(guó),先后與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《測(cè)量法義》一卷,與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年,在徐光啟主持下,編譯《崇禎歷書》137卷?！冻绲潥v書》主要是介紹歐洲天文學(xué)家第谷的地心學(xué)說(shuō)。作為這一學(xué)說(shuō)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),希臘的幾何學(xué)、納皮爾算籌、伽利略比例規(guī)等計(jì)算工具,也同時(shí)被介紹進(jìn)來(lái)。在傳入的數(shù)學(xué)中,影響最大的是《幾何原本》?！稁缀卧尽肥侵袊?guó)第一部數(shù)學(xué)翻譯著作,絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞都是首創(chuàng),其中許多至今仍在沿用。它成為明清兩代數(shù)學(xué)家必讀的數(shù)學(xué)書,對(duì)他們的研究工作頗有影響。三角學(xué)也在這時(shí)被介紹到中國(guó),如《大測(cè)》《割圓八線表》和《測(cè)量全義》。隨后在1646年,波蘭傳教士穆尼閣來(lái)華,跟隨他學(xué)習(xí)西方科學(xué)的有薛鳳祚、方中通等。薛鳳祚據(jù)其所學(xué),編成《歷學(xué)會(huì)通》,想把中法西法融會(huì)貫通起來(lái)。1840年鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)以后,西方近代數(shù)學(xué)開(kāi)始大量傳入中國(guó)。首先是英人在上海設(shè)立墨海書館,介紹西方數(shù)學(xué)。第二次鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)后,曾國(guó)藩、李鴻章等官僚集團(tuán)開(kāi)展“洋務(wù)運(yùn)動(dòng)”,也主張介紹和學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué),組織翻譯了一批近代數(shù)學(xué)著作,促進(jìn)了西方數(shù)學(xué)在我國(guó)推廣與應(yīng)用。戊戌變法以后,各地興辦新法學(xué)校,組織翻譯的近代數(shù)學(xué)著作便成為主要教科書。在翻譯西方數(shù)學(xué)著作的同時(shí),中國(guó)學(xué)者也進(jìn)行一些研究,寫出一些著作,如:李善蘭的《尖錐變法解》《考數(shù)根法》,夏彎翔的《洞方術(shù)圖解》《致曲術(shù)》《致曲圖解》等等,都是會(huì)通中西學(xué)術(shù)思想的研究成果。

由于輸入的近代數(shù)學(xué)需要一個(gè)消化吸收的過(guò)程,加上清末統(tǒng)治者十分腐敗,在太平天國(guó)運(yùn)動(dòng)的沖擊下,在帝國(guó)主義列強(qiáng)的掠奪下,焦頭爛額,無(wú)暇顧及數(shù)學(xué)研究,所以,直到1919年五四運(yùn)動(dòng)以后,中國(guó)近代數(shù)學(xué)的研究才真正開(kāi)始。

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(曲阜師范大學(xué)運(yùn)籌與管理學(xué)院)