周義明　張　超　張化民

摘 要：從樣條函數(shù)定義入手,給出了構(gòu)造樣條小波的具體方法。為了解決小波分析對奇異信號的奇異點(diǎn)定位困難的問題,重點(diǎn)介紹了基于余弦基展開式的零點(diǎn)對稱的二進(jìn)樣條小波、零點(diǎn)反對稱的二進(jìn)樣條小波構(gòu)造方法,并提出了具體的實(shí)現(xiàn)算法及計(jì)算過程。通過與正交樣條小波的比較,對稱樣條小波能對階躍信號和脈沖信號奇異點(diǎn)進(jìn)行更好的定位,實(shí)驗(yàn)結(jié)論也進(jìn)一步驗(yàn)證了該樣條小波對分析奇異信號具有較大優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：樣條函數(shù)；構(gòu)造方法；二進(jìn)樣條小波；信號定位；奇異性

中圖分類號：TN911 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1004-373X(2009)01-036-05

Construction Methods and Application Based on Spline Wavelets

ZHOU Yiming1,ZHANG Chao2,ZHANG Huamin3

(1.Beijing Institute of Petro-chemical Technology,Beijing,102617,China;

2.College of Electronics and Information Engineering,Tongji University,Shanghai,201804,China;

3.Hunan Tax College,Changsha,410116,China)

Abstract：Based on cardinal spline function,the contribution gives the construction ways.In order to overcome the matter about locating singularity position,the paper introduces the ways of symmetry dyadic spline wavelets on zero,anti-symmetry dyadic spline wavelets on zero,at the same time,puts forward to the transform arithmetic.Analyzing the real fault step signals and pulse signals by means of the constructed spline wavelets,the paper proves that the location of symmetry(anti-symmetry) dyadic spline wavelet is better than orthorhombic wavelet,experiment testify the result is correct.

Keywords：spline function;construction method;dyadic spline wavelets;signal location;singularity

0 引 言

小波變換因?yàn)橥瑫r(shí)具有時(shí)-頻分析能力,成為了近代信號處理的主要工具。樣條小波作為一種小波函數(shù)重要分支,由于具有更加優(yōu)良的時(shí)頻特性,而被廣泛應(yīng)用。然而,國內(nèi)外的小波專著主要是對小波函數(shù)構(gòu)造理論的推導(dǎo)及證明,需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論知識,對于大多數(shù)工程技術(shù)人員而言,主要關(guān)心的是小波函數(shù)構(gòu)造的方法、結(jié)論、算法實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用范圍?；诖?從樣條函數(shù)入手,結(jié)合對小波正交性、正則性、消失矩、緊支性和對稱性要求的不同,構(gòu)造出了不同性質(zhì)的樣條小波、實(shí)現(xiàn)算法和應(yīng)用范圍。

全文的主體內(nèi)容大致分為3個方面：

(1) 引入基本樣條函數(shù)的定義及其性質(zhì)；

(2) 利用小波構(gòu)造理論給出了二進(jìn)樣條小波(反對稱和對稱)、正交樣條小波的構(gòu)造過程和結(jié)論,同時(shí)給出了實(shí)現(xiàn)算法；

(3) 結(jié)合作者在實(shí)際項(xiàng)目中的應(yīng)用,選用不同的 3階二進(jìn)樣條小波對突變信號進(jìn)行了分析與比較,給出了反應(yīng)該突變信號的特征。

1 B樣條函數(shù)

樣條函數(shù)廣泛應(yīng)用于曲線、曲面擬合等領(lǐng)域,小波分析出現(xiàn)后,利用樣條函數(shù)構(gòu)造樣條小波取得了巨大成就。

1.1 B樣條函數(shù)的定義

設(shè)有節(jié)點(diǎn)序列{ti} n+k,稱函數(shù):

B i,k(x)=(t i+k-ti)［ti,t i+1,…,t i+k］(t-x) k-1+(1)

為關(guān)于節(jié)點(diǎn)序列{ti}的第i個k階(k-1次)B樣條函數(shù)［1］。

說明：k階半截冪函數(shù)f(t)=(t-x) k-1+(x為參數(shù))的k階差商乘上一個數(shù)(t i+k-ti)就是k階(k- 1次)B樣條函數(shù)。

由式(1)可得,當(dāng)k=1時(shí),第i個1階(k-1次) B樣條函數(shù)為:

B i,1(t)=1, ti≤t＜t i+1

0,其他(2)

由于i只是反應(yīng)了樣條函數(shù)在t軸的平移,不妨將B樣條函數(shù)設(shè)為以0為對稱中心,且節(jié)點(diǎn)距離為1,并重記為:

N1(t)=1, -1/2≤t＜1/2

0，其他(3)

1.2 B樣條函數(shù)性質(zhì)

對于m階B樣條函數(shù)Nm有以下性質(zhì)［2,3］：

(1) 樣條函數(shù)的支集：supp Nm=［-m/2,m/2］；

(2) 對于每個f∈C,有:

∫∞ -∞f(x)Nm(x)dx=∫ 1/2 -1/2…∫ 1/2 -1/2f(x1+x2+…

+xm)dx1dx2…dxm

(3) 對稱性：Nm(-t)=Nm(t)；

(4) Nm(t)=tm-1N m-1(t)+m-tm-1N m-1(t-1)；

(5) 對所有t,∑∞k=-∞Nm(t-k)=1；

(6) Nm(t)=N m-1*N1(t)；

結(jié)合式(2)和性質(zhì)(4),(6)可以求出任意階B樣條函數(shù)表達(dá)式。

2 樣條小波

由樣條函數(shù)可構(gòu)造多種性質(zhì)的樣條小波,結(jié)合信號分析的目的和要求,主要從正交性、消失矩、緊支性、對稱性等方面考慮,通過小波構(gòu)造理論來構(gòu)造不同性能的小波母函數(shù)。

2.1 二進(jìn)樣條小波

函數(shù)Ψ(t)∈L1(R)∩L2(R)稱為一個二進(jìn)小波,若存在常數(shù)0＜A≤B＜∞使得對于笑亍蔙-{0}有:

A≤∑j∈ZΨ(2jω)2≤B(4)

二進(jìn)小波變換只是將連續(xù)小波變換尺度S以{2j}采樣,平移參數(shù)不變,為了適宜對信號進(jìn)行邊沿檢測或突變檢測,往往小波的對稱性作為構(gòu)造重點(diǎn),并以卷積形式定義：{W 2jf(t)} j∈Z叫做f的二進(jìn)小波變換,其中:

W 2jf(t)=f*Ψ 2j(t)=12j∫Rf(x)Ψ(t-x2j)dx(5)

在式(5)中,根據(jù)卷積定理有:

W 2j(ω)=(ω)(2jω)(6)

2.1.1 二進(jìn)樣條小波的構(gòu)造

在二進(jìn)樣條小波構(gòu)造之前,先給出母二進(jìn)小波φ(t)滿足的條件：

(1) φ(t)是偶函數(shù),即φ(-t)=φ(t)；

(2) limω→0 (ω)=1, limω→∞ (ω)=0；

(3) (2ω)=H(ω)(ω),且H(ω)滿足：H(ω)∈L2(［-π,π］),H(ω)≤1,H(ω)又稱為母二進(jìn)小波φ(t)的生成元。

二進(jìn)小波變換主要是對突變信號進(jìn)行邊沿和突變點(diǎn)分析,信號有2種性質(zhì)的突變：階躍突變；脈沖突變。因此在構(gòu)造樣條小波時(shí),就對應(yīng)構(gòu)造出了兩種不同性質(zhì)的二進(jìn)樣條小波：反對稱二進(jìn)小波；對稱二進(jìn)小波。

(1) 反對稱二進(jìn)小波構(gòu)造

設(shè)φ(t)是一個二進(jìn)小波,H(ω)為其生成元,N是任意固定的正整數(shù),(a1,a2,…,aN)是滿足∑Nk=1ak＜1的任意N維實(shí)數(shù)向量,則o(2ω)=Go(ω)(ω)是一個定義在L2(R)中的二進(jìn)小波函數(shù),其中:

Go(ω)=isgn(ω)［1+∑Nk=1(akcos kω)］1-H(ω)2(7)

當(dāng)N=1,ak=0時(shí),有:

G0o(ω)=isgn(ω)1-H(ω)2(8)

由式(7)可知,Go(ω)是一個余弦基的展開式,可將其認(rèn)為是一個對稱函數(shù)的準(zhǔn)Fourier級數(shù)展開式,當(dāng)選取不同的N和ak時(shí)可構(gòu)造出不同濾波系數(shù)的二進(jìn)小波。

對于Go(ω)可得以下一些性質(zhì)：

① 由于式(7)中k∈Z,必有Go(ω)∈ L2(［-π,π］)；

② Go(ω)是奇函數(shù)；

③ 記Go(ω)=∑n∈Zgne -inω,則有g(shù)n=-gn,g00=0；

④不同N,ak構(gòu)造的反對稱二進(jìn)小波濾波系數(shù)之間有關(guān)系：

gn=g0n+12∑Nk=1ak(g0 n-k+g0 n+k)(9)

(2) 對稱二進(jìn)小波構(gòu)造

與反對稱二進(jìn)小波構(gòu)造條件一樣,只是?。?/p>

Ge(ω)=［1+∑Nk=1(akcos kω)］1-H(ω)2(10)

當(dāng)N=1,ak=0時(shí)，有：

G0e(ω)=1-H(ω)2(11)

相應(yīng)的性質(zhì)如下：

① Ge(ω)∈L2(［-π,π］)；

② Ge(ω)是偶函數(shù)；

③ 記Ge(ω)=∑n∈Zgne -inω,則有g(shù)n=-gn；

④ 不同N,ak構(gòu)造的對稱二進(jìn)小波濾波系數(shù)之間的關(guān)系：

gn=g0n+12∑Nk=1ak(g0 n-k+g0 n+k)(12)

以3階中心B樣條函數(shù)作為母二進(jìn)小波φ(t)：

根據(jù)樣條函數(shù)的定義和性質(zhì),由Nm(t)=N m-1砃1(t)及卷積定理可得：

(2ω)=m(2ω)=(sin ωω)m=

(cosω2)mm(ω)=H(ω)m(ω)(13)

因此：

H(ω)=(cosω2)m(14)

現(xiàn)分析其是否滿足母二進(jìn)小波的3個條件：

① 由于φ(t)是以零為中心的B樣條函數(shù),所以其為偶函數(shù)；

② limω→0(2ω)= limω→0sin ωωm=1,同理 limω→∞ (2ω)=0；

③ 由式(14)有：當(dāng)m=2k,即m為偶數(shù)時(shí),H(ω)滿足條件,可作為生成元；當(dāng)m=2k+1,即m為奇數(shù)時(shí),不是以2π為周期的,若在式(14)右邊乘以一指數(shù)因子以保證其是以2π為周期的,則時(shí)域的φ(t)將會產(chǎn)生零點(diǎn)偏移,破壞了φ(t)的偶對稱性,Mallat構(gòu)造的3階二進(jìn)樣條小波［4］就屬于此類。為解決這一矛盾,許傳祥等通過擴(kuò)展φ(t)的時(shí)間軸使得其頻域軸壓縮,從而構(gòu)造了極好的二進(jìn)樣條小波,并給出了3階和4階二進(jìn)樣條小波的濾波器系數(shù)［5］。

圖1為二者用3階樣條函數(shù)構(gòu)造的小波函數(shù)對一階躍信號的分析,一共進(jìn)行了9層小波分析,其中 圖1(a)為被分析信號；圖1(b)為由膨脹 φ(t)的時(shí)間軸構(gòu)造的小波對信號的分析； 圖1(c)為由Mallat構(gòu)造的小波對信號的分析。由圖可見,膨脹φ(t)的時(shí)間軸構(gòu)造的小波分解系數(shù)不發(fā)生時(shí)間的偏移,而由Mallat構(gòu)造的小波隨著分解層數(shù)的增加逐步偏離突變點(diǎn),但緊支性方面對稱性樣條小波不如Mallat二進(jìn)小波。

圖1 不同樣條小波對突變信號的分析

2.1.2 二進(jìn)小波變換的實(shí)現(xiàn)

由于二進(jìn)樣條小波采用余弦基構(gòu)造,而且其變換通過卷積形式,因此不符合MRA理論,不能采用快速M(fèi)allat算法實(shí)現(xiàn)。à trous算法(多孔算法)能實(shí)現(xiàn)這一二進(jìn)小波變換。

設(shè)原始信號為{s(n)} n∈［0,N),可以證明必存在f(t),使得:

s(n)=＜f(t),φ(t-n)>(15)

不妨設(shè)f(n)=Sd1f,f(n)為t=n時(shí)刻的值,對于采樣較密集的信號可直接設(shè)s(n)=Sd1f,則對每一個尺度2j,Sd 2jf可分解為Sd 2 j+1f和Wd 2 j+1f,程序公式如下：

while(j≤J)

Sd 2 j+1f=Sd 2jf砲n

Wd 2 j+1f=Sd 2jf砱n

j=j+1

end

分解后的信號長度為JN個細(xì)節(jié)系數(shù),N個概貌系數(shù)。

2.2 正交樣條小波

正交小波由于在尺度和平移方面都是正交的,不含冗余項(xiàng),被廣泛應(yīng)用于圖像或數(shù)據(jù)壓縮,因而在構(gòu)造過程主要考慮正交性。

2.2.1 正交樣條小波的構(gòu)造

正交小波的構(gòu)造主要采用MRA理論,在構(gòu)造之前先給出幾個定義或定理：

定理1 MRA理論是指滿足以下條件的序列閉子個空間{Vj} j∈Z：

(1) …糣2糣1糣0糣 -1糣 -2??；

(2) ∩j∈ZVj={0}; ∪j∈ZVj=L2(R)；

(3) f(t)∈Vj趂(2t)∈V j+1,j∈Z；

(4) 存在φ(t)∈V0,使得V0= span{φ(t-n),n∈Z}。

由條件(4)可以得到一個引理：

若滿足：

∑(ω+2nπ)2=1(16)

則序列{φ(t-n),n∈Z}必為V0空間的一組正交基。

定理2 若{Vj} j∈Z滿足MRA理論,尺度函數(shù)序列{φ(t-n),n∈Z}為V0空間的正交基,則有二尺度差分方程如下：

尺度:

φ(t)=2∑n∈Zcnφ(2t-n)(17)

小波:

Ψ(t)=2∑n∈Z(-1)nc 1-nφ(2t-n)(18)

可將小波離散表示為：

Ψ j,k(t)=2jΨ(2j-k)(19)

可以證明Ψ(t)的Fourier變換滿足：

(ω)=-e -iω/2(ω2+π)(ω2)(20)

其中：

H(ω)=2 -1/2∑cne -inω(21)

根據(jù)式(3)和1.2節(jié)中性質(zhì)(6),若取φ(t)=Nm(t)則有：

當(dāng)m=1時(shí),N1(t)具有正交性,可以構(gòu)造正交小波基,即Haar小波；

當(dāng)m≥2時(shí),Nm(t-n)是Riesz基的,并不具備平移正交性,因此在構(gòu)造小波之前必須對其進(jìn)行正交化處理,記：

p(ω)=sin(ω/2)ω/2p(22)

Fp(ω)=p(ω+2nπ)2〗 -1/2(23)

#p(ω)=p(ω)Fp(ω)(24)

則可證明存在{V #0}使得{φ #p(t-n),n∈Z}為其正交基,這時(shí)再利用定理2就可以構(gòu)造正交的樣條小波基,即有：

(ω)=e -iω/2 m #0(ω/2+π)φ #p(ω/2)(25)

其中：m #0(ω)=m0(ω)［∑n∈Zp(ω+2nπ)2］ 1/2［∑n∈Z

p(2ω+2nπ)2］ -1/2,且m0(ω)=2 -1/2∑n∈Zhne -inω, hn=cn,∑n∈Zp(2ω+2nπ)2=-sin 2pω(2p-1)!d 2p-1dω 2p-1 cot ω［3］。

以時(shí)域表示式(24)和式(25)有：

φ #p(t)=2∑n∈Zh #nφ #p(2t-n)(26)

Ψ #p(t)=2∑n∈Z(-1)nh # 1-nφ #p(2t-n)(27)

該小波還具有對稱性,但卻犧牲了小波的緊支性,二階和三階正交樣條小波的具體構(gòu)造過程和其他階正交樣條小波濾波器系數(shù)在相關(guān)文章中給出［6,7］。

2.2.2 正交樣條小波變換的實(shí)現(xiàn)

正交樣條小波的構(gòu)造是基于MRA理論,因此可以通過快速M(fèi)allat算法實(shí)現(xiàn),其原理為：

信號的小波變換可以看作對信號分別進(jìn)行高通或低通濾波,利用二尺度差分方程對小波變換進(jìn)一步推導(dǎo)可得：

x (j)k=∑nh0(n-2k)x (j-1)n(28)

d (j)k=∑ng0(n-2k)x (j-1)n(29)

其中：h0,g0分別為式(25),式(26)中的濾波器系數(shù)h #n,(-1)nh # 1-n。

將待小波分解信號通過一個高通濾波器和一個低通濾波器進(jìn)行濾波,得到一組低頻信號和一組高頻信號,并且繼續(xù)對低頻信號進(jìn)行類似分解直到滿足要求,每一次分解得到的低頻信號和高頻信號長度都是原信號長度的一半,兩者之和等于原信號的長度,可看作是在濾波后進(jìn)行隔點(diǎn)采樣,分解結(jié)果既不冗余,也不損失原信號的任何信息,此即為Mallat算法,將其用電路結(jié)構(gòu)圖表示如圖2所示。

圖2 Mallat算法電路結(jié)構(gòu)示意圖

3 實(shí)例分析

根據(jù)分析信號的目的和要求的不同,選擇的小波基和變換方法也是不一樣的,基于作者在北京環(huán)鐵基地做實(shí)驗(yàn)所采集的信號,選用不同的小波基對其進(jìn)行了分析。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康闹饕欠治鰻恳佑|網(wǎng)的接地故障行波信號,測試線路長度為1 400 m,數(shù)據(jù)采樣頻率為 100 MHz,分為在線和離線檢測兩種情況：

(1) 在線情況是將線路首端接一觸發(fā)恒壓電源 15 V,末端通過電阻(有幾種等級)接地,電源觸發(fā)后,在末端采集故障行波；

(2) 離線情況是用電容球隙放電產(chǎn)生的突發(fā)脈沖代替(1)中恒壓電源作為信號源,末端仍接地,信號采集端在首端,圖3為用虛擬儀器實(shí)測的故障行波波形。

圖3 兩種情況下的實(shí)測故障行波

注意實(shí)測波形：由恒壓電源產(chǎn)生的故障行波是帶一定傾斜度臺階上升的,最終達(dá)到15 V；由球隙放電產(chǎn)生的故障行波是隔一定間距就產(chǎn)生相反方向的突變脈沖(不嚴(yán)格)信號,第一個極大脈沖是由球隙放電產(chǎn)生,并不是故障行波,振蕩波是由球隙逐漸放電過程引起的。由于測試現(xiàn)場噪聲較強(qiáng),采樣率較高,數(shù)據(jù)量較大,為了便于分析,在不破壞原始數(shù)據(jù)波形成分和形狀的條件下,只對其(突變劇烈處)進(jìn)行部分截取并放大,分別用不同小波基分析直流恒壓源故障行波,分解層數(shù)為 9級,得到圖4,其中(a)為原始信號； (b)為零點(diǎn)反對稱小波(N=1,a1=0.28)的分析；(c)為Mallat小波的分析；(d)為零點(diǎn)對稱小波(N=1,a1=-0.64)的分析。

圖4 直流恒壓源故障行波在不同小波基下的分析

由圖4可見,對于分析階躍信號,在低級數(shù)分解過程中,由于噪聲的影響,無法分辨突變點(diǎn),提高分解級數(shù)(第8級),可以分辨突變點(diǎn),但是難以精確定位,不同小波基下的分解,定位也是完全不同的,零點(diǎn)反對稱小波的分析最佳,對于脈沖性質(zhì)的信號,零點(diǎn)對稱小波的分析最佳,當(dāng)選用正交小波基時(shí),每級分解后數(shù)據(jù)量減半,但由于進(jìn)行了二抽取,完全沒有定位性,因此可總結(jié)出以下性質(zhì)：

(1) 用小波對信號進(jìn)行邊沿或突變點(diǎn)檢測時(shí),宜選用二進(jìn)小波函數(shù)作為分析母小波；

(2) 對階躍信號的分析宜選用零點(diǎn)反對稱小波,對觸發(fā)信號的分析宜選用零點(diǎn)對稱小波；

(3) 階躍信號的突變點(diǎn)分別對應(yīng)零點(diǎn)反對稱小波變換系數(shù)的極大值點(diǎn)和零點(diǎn)對稱小波變換系數(shù)的過零點(diǎn)；觸發(fā)信號的突變點(diǎn)分別對應(yīng)零點(diǎn)反對稱小波變換系數(shù)的過零點(diǎn)和零點(diǎn)對稱小波變換系數(shù)的極大值點(diǎn)；

(4) Mallat小波在進(jìn)行突變檢測時(shí)會發(fā)生定位偏移,不利于突變點(diǎn)的定位；

(5) 正交小波基更適宜應(yīng)用于數(shù)據(jù)的壓縮和重構(gòu),不適宜突變點(diǎn)檢測。

4 結(jié) 語

根據(jù)分析信號的要求,提出了基于樣條函數(shù)構(gòu)造不同性質(zhì)的樣條小波的理論和方法,并通過對實(shí)測故障行波數(shù)據(jù)的分析,得出了分析階躍信號和突變信號的小波基函數(shù)選擇的理論依據(jù),證實(shí)其完全符合理論的推導(dǎo)。

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作者簡介

周義明 男,1976年出生,講師。主要研究方向?yàn)樾盘柼幚怼?/p>

張 超 男,碩士研究生。主要研究方向?yàn)橥ㄐ排c信息系統(tǒng)。

張化民 男,1958年出生,副教授。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用。