馬曉東

高度抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性。由于數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它就必須是從現(xiàn)實(shí)的物質(zhì)外殼中抽象出來(lái)的共性，所以一開(kāi)始從自然數(shù)的誕生，數(shù)學(xué)便開(kāi)始了抽象的過(guò)程。發(fā)展到今天，數(shù)學(xué)更是在高度的抽象性上越走越遠(yuǎn)?？梢哉f(shuō)沒(méi)有抽象，就沒(méi)有數(shù)學(xué)。

高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維主要有三種形式：形象思維、抽象思維和靈感思維。

形象思維又叫直觀思維。它的思維特征是具體、直觀。它有兩個(gè)層次：一個(gè)是在抽象思維產(chǎn)生前的初級(jí)直觀形象；另一個(gè)是在抽象思維之上的高級(jí)的理想形象。對(duì)于一個(gè)中學(xué)生來(lái)說(shuō)，形象思維過(guò)程往往與具體的事物、圖表、符號(hào)等相聯(lián)系，很多人的想象思維處于初級(jí)層次。例如，學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，他們往往與三角形、四邊形、圓這些具體實(shí)物進(jìn)行對(duì)比聯(lián)想。學(xué)習(xí)集合論時(shí)，他們往往借助于韋恩圖思考集合間的各種關(guān)系。學(xué)生有了對(duì)“初形”的感知，教師就要引導(dǎo)學(xué)生建立抽象思維，把概念理想化，建立理想的形象與結(jié)構(gòu)，這便是高級(jí)的形象思維。

那么，教師怎樣使學(xué)生由初級(jí)的直觀形象形成高級(jí)的理想形象呢?首先，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，要充分利用教具，進(jìn)行實(shí)物教學(xué)，使學(xué)生建立直觀形象。學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，必然在他們的腦海中留下較深的直觀烙印。然后教師引導(dǎo)學(xué)生將所得到的結(jié)論條理化、系統(tǒng)化、概念化，從而抽象出同一類事物的本質(zhì)屬性。例如：兩城市間的距離抽象成一條線段，一塊磚頭抽象成一個(gè)長(zhǎng)方體等，學(xué)生只要善于這種抽象，就可以說(shuō)他已形成較簡(jiǎn)單的高級(jí)形象思維。

抽象思維是數(shù)學(xué)思維中常見(jiàn)的思維形式，它以嚴(yán)密的邏輯推理為基礎(chǔ)，包括概念、判斷、推理與證明等基本形式。成績(jī)好的學(xué)生能把一個(gè)數(shù)學(xué)題迅速準(zhǔn)確地解答出來(lái)，我們就說(shuō)這個(gè)學(xué)生的抽象思維能力強(qiáng)。反之，如果學(xué)生不能把一個(gè)數(shù)學(xué)題準(zhǔn)確地解答出來(lái)，我們就說(shuō)這個(gè)學(xué)生的抽象思維能力差，學(xué)得死板，不能把老師傳授的知識(shí)抽象概括成自己的知識(shí)，從而形成解題的能力。因此，教師在教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，讓抽象思維貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。我認(rèn)為中學(xué)平面幾何，是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的最好教材，教師通過(guò)對(duì)幾何題目的分析、證明和總結(jié)，是培養(yǎng)中學(xué)生抽象思維能力的重要途徑。

當(dāng)然，抽象思維不是孤立的，它的基礎(chǔ)是初級(jí)的形象思維。學(xué)生在形象思維的基礎(chǔ)上，不斷地總結(jié)、概括和提煉，從而形成規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，這便是抽象思維。反過(guò)來(lái)，抽象思維中的很多理論又將回到具體的直觀現(xiàn)實(shí)中得到檢驗(yàn)和印證，從而形成高級(jí)的形象思維，以指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)和實(shí)踐。

靈感思維又叫頓悟，它是數(shù)學(xué)思維的又一種形式，它往往在我們“不注意的時(shí)候突然產(chǎn)生”。靈感思維是人類思維的質(zhì)變過(guò)程，有時(shí)它看來(lái)毫無(wú)邏輯可言，表現(xiàn)為偶然的靈感，可仔細(xì)想來(lái)，它仍然建立在長(zhǎng)期大量的抽象思維和形象思維的基礎(chǔ)上，壓縮了許多邏輯過(guò)程，采取了跳躍的形式。它是人們思維形式中非常重要的一種，而且是高級(jí)的形式，它對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)起著十分重要的作用。

高中學(xué)生的思維中也有靈感思維的成分。在學(xué)生的作業(yè)中，我們常常會(huì)看到學(xué)生的有些解法非常巧妙、出奇制勝，這便是學(xué)生在做題時(shí)產(chǎn)生的“靈感”。在幾何證明中，有時(shí)我們看到學(xué)生在做題時(shí)眉頭緊鎖，百思不得其解，當(dāng)他突然想到引用什么定理或添加什么樣的輔助線時(shí)，問(wèn)題便得到了解決，真是“眾里尋它千百度，暮然回首，原來(lái)她在燈火闌珊處”。這時(shí)一種成功的愉悅會(huì)使他們高興得手舞足蹈，這就是靈感。如果學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，經(jīng)常有靈感產(chǎn)生，學(xué)生就將對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣。因此，作為數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生的靈感思維，對(duì)例題不能講得過(guò)死，對(duì)學(xué)生的作業(yè)不能事先提示，要求學(xué)生千篇一律，一個(gè)解題模式，這樣不利學(xué)生產(chǎn)生靈感。

雖然靈感思維是在我們“不注意的時(shí)候突然發(fā)生”的，但它絕不是“空中樓閣”。第一，它往往發(fā)生于長(zhǎng)期對(duì)于某個(gè)問(wèn)題的思索與研究，必須積累豐富的有關(guān)知識(shí)，特別是有關(guān)失敗的教訓(xùn)。第二，靈感思維還要求有廣泛的知識(shí)面，有時(shí)表面上看來(lái)與問(wèn)題無(wú)關(guān)的知識(shí)也十分重要，要有廣博的知識(shí)基礎(chǔ)。費(fèi)爾瑪是一位法官，但他卻發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)中著名的“費(fèi)爾瑪大定理”。第三，靈感思維必須有極大的熱情，以興趣為動(dòng)力，還必須有堅(jiān)韌不撥的精神、鍥而不舍的苦苦追求的作風(fēng)?！疤て畦F鞋無(wú)覓處，得來(lái)全不費(fèi)工夫”，表面上是“全不費(fèi)工夫”，其實(shí)有“踏破鐵鞋”的功夫在前。第四，靈感思維必須從廣泛角度解放思想，不受老師所講知識(shí)的束縛，敢于向權(quán)威挑戰(zhàn)。第五，靈感思維有時(shí)發(fā)生在苦思之后，又故意丟開(kāi)，讓大腦松弛，突然會(huì)在不注意的時(shí)候，似乎偶然接觸，從而產(chǎn)生靈感，使問(wèn)題解決。

由此可見(jiàn)，靈感思維是一種綜合性極強(qiáng)的思維，連他本人也說(shuō)不清楚“為什么”，但它絕不會(huì)憑空產(chǎn)生，必須以極強(qiáng)的形象思維和抽象思維為基礎(chǔ)，它是形象思維與抽象思維的高度綜合與提煉。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，主要是培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和抽象思維，建立好堅(jiān)實(shí)的形象思維和抽象思維基礎(chǔ)，使學(xué)生在不注意的時(shí)候，自然而然地產(chǎn)生靈感。

（作者單位：遼寧省東港市第三中學(xué)）