眾所周知，數(shù)學(xué)中有許多的基本圖形，如線段、數(shù)軸、圓、正方形、雙曲線等，這些基本圖形蘊(yùn)涵著許多重要的基本性質(zhì)，不僅如此，這些基本的圖形所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言還具有確定性、簡(jiǎn)潔性及抽象性等特點(diǎn)，具有著其它語(yǔ)言不可替代的優(yōu)越性。它們不僅跟文字一樣具有記錄作用，有利于形象記憶，也有思想交流的功能；其豐富的表象，往往有助于我們清楚地分析題中的數(shù)量關(guān)系，起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的良好效果。

1.巧用線段圖解題

例1：甲、乙兩列火車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，第一次在離A地75千米處相遇，相遇后兩列車?yán)^續(xù)前進(jìn)，到達(dá)目的地后又立即返回；第二次相遇在離B地55千米處，求A、B兩地的路程。

分析與解：本題屬行程問(wèn)題，涉及路程、速度、時(shí)間三個(gè)基本量，直接利用這三種基本數(shù)量關(guān)系去求解問(wèn)題比較困難；把A、B兩地看成一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)造線段圖來(lái)輔助分析問(wèn)題。

由上圖中，用實(shí)線、虛線分別表示甲、乙兩列火車的行程，就可以看出甲、乙兩列火車第一次相遇共合走一個(gè)全程。在第一次相遇時(shí)，甲車行了75千米。從第一次相遇到第二次相遇，兩車一共行了三個(gè)全程，那甲車就行了三個(gè)75千米，即225千米。從線段圖中，我們還可以知道甲車一共行了一個(gè)全程多55千米，因此用225千米減去55千米就是A、B兩地的路程，即A、B間的路程為170千米。

一幅簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的線段圖，把看似復(fù)雜、難以理解的數(shù)量關(guān)系揭示得清清楚楚，通過(guò)直觀的觀察及簡(jiǎn)單的計(jì)算就解決了問(wèn)題。

延伸：線段圖也常用于解決幾何數(shù)學(xué)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題、應(yīng)用題中的工程問(wèn)題等。

2.巧用數(shù)軸來(lái)解題

例2：方程|x-2|+|x-3|=1的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)有（ ）。

A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)

分析與解：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)：學(xué)生會(huì)用分段討論的方法來(lái)求解方程，比如從x＜2，2≤x≤3，x＞3三種情況一一討論，先去絕對(duì)值符號(hào)再求解方程。由方程左邊的式子的結(jié)構(gòu)特征，我們?nèi)菀茁?lián)想到數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，若實(shí)數(shù)x、x分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的兩點(diǎn)A、B，則|x-x|=|AB|，即兩個(gè)實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值等于它們?cè)跀?shù)軸上所表示的點(diǎn)的線段的長(zhǎng)，借助數(shù)軸直觀解釋|x-2|+|x-3|=1的幾何意義為：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)2、3的兩點(diǎn)的距離之和為1。

由圖形可知，與表示數(shù)2、3的點(diǎn)的距離之和為1的點(diǎn)位于表示數(shù)2、3的兩點(diǎn)之間，區(qū)間［2，3］內(nèi)的所有點(diǎn)均符合條件，故選D。

一條數(shù)軸，一個(gè)學(xué)生十分熟悉又簡(jiǎn)單的幾何圖形，把本要分若干情況一一去討論求解的問(wèn)題，進(jìn)行了形象化的處理，十分容易地找到了方程的解。

延伸：代數(shù)式的化簡(jiǎn)、不等式（組）的求解等問(wèn)題，也常用數(shù)軸來(lái)輔助分析解決。

3.巧用輔助圓來(lái)解題

例3：已知a是一個(gè)銳角，試比較sinα、cosα的差與1的大小。

分析與解：本題中如果α是一個(gè)特殊的角，如α=30°，則學(xué)生可通過(guò)具體的計(jì)算來(lái)比較，但本題α的大小未確定，故通過(guò)直接計(jì)算來(lái)比較大小有困難。取一單位圓，根據(jù)三角函數(shù)定義可知：

sinα=，cosα=

∴sinα-cosα=

顯然PM-OM＜PO，

∴sinα+cosα＜1。

從上可知：通過(guò)構(gòu)造單位圓這一基本圖形，把原本看似很難入手的大小比較問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為用三角函數(shù)的定義來(lái)分析比較，從而使問(wèn)題獲得順利解決。

延伸：輔助圓分析法也常用于三角函數(shù)求值、公式推導(dǎo)與證明等問(wèn)題。

例4：體育委員在班會(huì)上統(tǒng)計(jì)核對(duì)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)：“哪些人參加長(zhǎng)跑項(xiàng)目的？”這時(shí)有15人舉手；“哪些人參加跳遠(yuǎn)？”這時(shí)有13人舉手；“哪些人參加投擲的？”這時(shí)有14人舉手；“哪些人長(zhǎng)跑、跳遠(yuǎn)兩個(gè)項(xiàng)目都參加的？”舉手的有4人；“哪些人跳遠(yuǎn)、投擲兩個(gè)項(xiàng)目都參加？”舉手的有5人；“哪些人是跑步、投擲兩個(gè)項(xiàng)目都參加的？”舉手的有6人；“哪些人是三個(gè)項(xiàng)目都參加的？”舉手的有2人；“哪些人參加本次運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽的？”舉手的有28人，請(qǐng)你檢查一下，體育委員的統(tǒng)計(jì)是否有誤？

分析與解：本題由于題中涉及的數(shù)據(jù)較多，數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，一時(shí)難以理清楚。由已知條件，用韋恩圖來(lái)表示：A、B、C分別表示參加長(zhǎng)跑、跳遠(yuǎn)、投擲的人數(shù)，從圖中可知：

A、B的重合部分為a，B、C的重合部分為b；A、C的重合部分為c，A、B、C的重合部分為x；參加比賽的總?cè)藬?shù)可表示為：

A+B+C-（a+b+c）+2x=15+13+14-4-5-6+2×2=31（人），與兩題中已知參加比賽的共28人不一致，故體育委員的統(tǒng)計(jì)有誤。

以圓為基本單位的韋恩圖表示法，具有形象、直觀的特點(diǎn)，它能幫助深刻地理解題意，理清不同對(duì)象間的多種數(shù)量關(guān)系，使看似繁雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

延伸：在概率的計(jì)算、處理集合等問(wèn)題時(shí)，我們也常借助韋恩圖來(lái)分析解決。

4.巧用矩形圖來(lái)解題

例5：求代數(shù)式++++…+的值（結(jié)果用n表示）。

分析與解：當(dāng)n為2、3、4等一些相對(duì)較小的數(shù)值時(shí)，代數(shù)式的求值可通過(guò)直接計(jì)算進(jìn)行；考慮到題中n值未定，用直接計(jì)算的方法求代數(shù)式的值顯然有困難；作一邊長(zhǎng)為1的正方形，按圖示進(jìn)行一次一次分割，由圖示易知：

一次分割：=1-

二次分割：+=1-

三次分割：++=1-

……

n次分割：+++…=1-

本題借助于正方形，利用數(shù)形結(jié)合，巧妙地把一個(gè)數(shù)學(xué)難題轉(zhuǎn)化為可以直觀求解的圖形分割問(wèn)題，并利用圖形中隱藏的圖形變換規(guī)律以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

延伸：矩形圖在數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、法則的證明等方面（如平方差公式、完全平方公式、多項(xiàng)式乘法法則等）也有廣泛的應(yīng)用。

5.巧用曲線圖解題

例6：方程=x-x-2的正數(shù)解有（ ）個(gè)。

A.0 B.1 C.2 D.3

分析與解：本題若要通過(guò)正面求解方程來(lái)確定正數(shù)解的個(gè)數(shù)，既繁又難。注意到方程左邊是，右邊是x-x-2，如果轉(zhuǎn)化成圖形語(yǔ)言，構(gòu)造雙曲線y=（x＞0）及拋物線y=x-x-2，如右圖所示，那么可知在第一象限內(nèi)，拋物線與雙曲線的交點(diǎn)有且只有1個(gè)，即方程的正數(shù)解有且只有1個(gè)，故選B。

函數(shù)圖像能直觀地刻畫(huà)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而反映出函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。本題運(yùn)用函數(shù)圖像來(lái)解決方程的解的問(wèn)題，形象、生動(dòng)、簡(jiǎn)便。

延伸：曲線圖在處理日常生活、數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等問(wèn)題上也常有廣泛的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)基本圖形眾多，不同的圖形有不同的性質(zhì)，呈現(xiàn)的是不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，體現(xiàn)的是各自特有的圖形功能。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，從已知條件的數(shù)字特征、代數(shù)式的特點(diǎn)及特定的數(shù)量關(guān)系等角度去充分挖掘它們所具有的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)基本圖形的形象性、直觀性來(lái)解題，不僅有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的解題效率，而且對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)也具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

參考文獻(xiàn)：

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