函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)極為重要的內(nèi)容，貫穿高中數(shù)學(xué)的始終。方程、不等式、數(shù)列、極限、導(dǎo)數(shù)與微分等內(nèi)容都是以函數(shù)為中心的，還滲透到三角、立體幾何、解析幾何，更有內(nèi)容豐富的函數(shù)實(shí)際應(yīng)用性問(wèn)題，跨學(xué)科的綜合應(yīng)用是函數(shù)的鮮明特征。所以，學(xué)好函數(shù)知識(shí)是學(xué)好整個(gè)高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。但由于函數(shù)是學(xué)生接觸到的第一個(gè)研究變數(shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)基本概念，學(xué)生無(wú)法很好地基于自身的知識(shí)背景來(lái)建構(gòu)這一抽象概念并得到深刻的理解。函數(shù)圖像是函數(shù)關(guān)系的一種直觀、形象的表示，函數(shù)圖像對(duì)函數(shù)的概念與性質(zhì)的理解起著至關(guān)重要的作用，但由于作圖很麻煩、不方便，甚至不可能作出，所以，學(xué)生很難達(dá)到對(duì)函數(shù)知識(shí)的深刻理解。信息技術(shù)可以很好地輔助學(xué)

生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)。

● 加深函數(shù)理解，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

教材的編寫(xiě)有其嚴(yán)密的邏輯體系。函數(shù)知識(shí)的編寫(xiě)遵循著由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般再到特殊的認(rèn)知規(guī)律。在傳統(tǒng)教學(xué)中限于技術(shù)手段，往往不能很好地呈現(xiàn)函數(shù)知識(shí)的形成過(guò)程，展現(xiàn)函數(shù)知識(shí)的內(nèi)涵，挖掘函數(shù)知識(shí)蘊(yùn)含的重要思想方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。雖然學(xué)生通過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)能解決一些問(wèn)題，但對(duì)函數(shù)知識(shí)的認(rèn)識(shí)往往是一知半解、殘缺不全的。再現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，有利于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。利用Mathematical等信息技術(shù)手段，由“靜”到“動(dòng)”，由“微觀”到“宏觀”地展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，有利于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。

在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，只用“描點(diǎn)法”作出y=2x，y=(1/2)x兩個(gè)圖像，然后直接給出指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的性質(zhì)，這有些“強(qiáng)加于人”的感覺(jué)。

例如，學(xué)生對(duì)為什么要把底數(shù)a分為0＜a＜1和a＞1兩種情況加以討論不一定理解，過(guò)程比較被動(dòng)。而引導(dǎo)學(xué)生利用諸如Mathematical等軟件完成函數(shù)y=ax的對(duì)應(yīng)值表，作出圖像，并在信息技術(shù)環(huán)境下動(dòng)態(tài)觀察圖像，形成對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的感性認(rèn)識(shí)，再讓學(xué)生自由選擇a的值，并在同一坐標(biāo)系內(nèi)作圖像。

只要輸入Plot[{4x，3x，2x，1x，-x，-x，

-x}，{x，-2，2}]就可得到圖1。

在此過(guò)程中，學(xué)生可清楚地看到底數(shù)a如何影響并決定著函數(shù)y=ax的性質(zhì)。由于函數(shù)的圖像隨著0＜a＜1和a＞1自然聚集，學(xué)生可以清楚地看到a=1的這條分界線，而函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)（0，1）等更是一目了然。然后，再通過(guò)a的連續(xù)變化來(lái)演示函數(shù)圖像的變化規(guī)律，讓學(xué)生更直觀、更清楚地“看到”函數(shù)y=ax的性質(zhì)。這樣呈現(xiàn)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)“為什么以a=1為分界點(diǎn)”，“過(guò)點(diǎn)（0，1）為什么要作為性質(zhì)之一”，“為什么不討論a=0和a<0的情形”等，都營(yíng)造了很好的環(huán)境，使開(kāi)放性、探索式學(xué)習(xí)等成為可能。顯然，如果沒(méi)有信息技術(shù)，上述過(guò)程很難實(shí)現(xiàn)。

利用信息技術(shù)構(gòu)建的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式改變傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生圍著老師轉(zhuǎn)的教學(xué)模式，學(xué)生從以往的聽(tīng)眾變成了積極的參與者，真正成為課堂的主體。把原來(lái)被動(dòng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程轉(zhuǎn)變成為自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)到知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，從而對(duì)數(shù)學(xué)有更深刻的認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生更強(qiáng)烈的求知欲，也進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

● 突破重難點(diǎn)，構(gòu)建完整的函數(shù)知識(shí)體系

函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)、基本初等函數(shù)是函數(shù)知識(shí)的重點(diǎn)，也是函數(shù)知識(shí)的支撐，這些內(nèi)容的理解掌握，對(duì)函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。函數(shù)的概念、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)是函數(shù)知識(shí)的難點(diǎn)，對(duì)難點(diǎn)知識(shí)的突破，有利于構(gòu)建完整的知識(shí)體系。在傳統(tǒng)教學(xué)中，對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)往往不直觀、不具體，不是水到渠成的，總有強(qiáng)加于人的感覺(jué)，揭示不深刻，不利于知識(shí)的理解掌握；對(duì)難點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)，往往說(shuō)不清道不明，蜻蜓點(diǎn)水、淺嘗輒止，不能有效突破。利用信息技術(shù)可以直觀、形象地揭示知識(shí)間的聯(lián)系，有利于學(xué)生掌握重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。

以往研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，特別是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，總是直接給出結(jié)論“同則增，異則減”，學(xué)生只知其然，而不知其所以然，往往疑惑不解?，F(xiàn)在，利用信息技術(shù)，如Mathematical研究復(fù)合函數(shù)y1=xsin-的（x≠0）圖像。

只要輸入Plot[{x*Sin[Pi/x]，x，-x}，

{x，-2，2}]就可得圖2。

學(xué)生可以根據(jù)已知函數(shù)y1=xsin-的圖像得到性質(zhì)：①定義域、值域；②奇偶性。

利用信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)課堂為學(xué)生營(yíng)造了一個(gè)探索數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的環(huán)境。大家可以做實(shí)驗(yàn)、互相討論、積極思維、互相協(xié)作、大膽猜想、踴躍發(fā)表自己的觀點(diǎn)，參與感比較強(qiáng)，在實(shí)驗(yàn)中學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)課也不枯燥了。信息技術(shù)給我們帶來(lái)了生動(dòng)形象的數(shù)學(xué)，以其圖像的快捷性和直觀性為進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)提供了必要的條件，有利于逐步培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的態(tài)度和意識(shí)。

● 解決函數(shù)型實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，培養(yǎng)科學(xué)研究的態(tài)度和意識(shí)

利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法，是把實(shí)際問(wèn)題加以抽象概括，得出關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題。（如圖3所示）

實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解決關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)模型的建立，函數(shù)模型的建立步驟是：確定變量，收集數(shù)據(jù)→根據(jù)收集的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖→根據(jù)散點(diǎn)圖選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)→建立函數(shù)關(guān)系式。也就是對(duì)變量進(jìn)行回歸分析，得出回歸方程，并進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。這一過(guò)程需要大量的運(yùn)算，甚至無(wú)法用紙和筆來(lái)解決，這使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決變得厭倦甚至放棄。而利用Mathematical的函數(shù)擬合功能，使得對(duì)一些采集的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型變得輕松、容易。這就使運(yùn)算繁雜、作圖困難、數(shù)據(jù)處理難度大的問(wèn)題，特別是一些具有真實(shí)背景的實(shí)際問(wèn)題的解決成為可能。借助Mathematical等軟件，將實(shí)驗(yàn)、嘗試、模擬、猜想、檢驗(yàn)、調(diào)控、運(yùn)算、推理、證明等作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，更加重視學(xué)生的親身實(shí)踐活動(dòng)，促進(jìn)高層次數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)思考力度。讓學(xué)生“看到”他們以往只能想象的數(shù)學(xué)，“做”他們以往不可能做的數(shù)學(xué)，使學(xué)生感受到實(shí)實(shí)在在的“活”數(shù)學(xué)。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”