數(shù)學探索性問題不同于常規(guī)數(shù)學問題，具有較強的綜合性和邏輯性.要求考生針對已有條件，進行觀察、分析、比較、歸納、證明，考查合情推理合邏輯推理能力.

數(shù)學探索性問題一般有以下幾類：是否存在型、結論推廣型、條件缺失型、命題組合型、定義信息型和實驗操作型.

1.是否存在型

“存在型”問題是探索性問題的熱門形式，而且是一類綜合性強、覆蓋面大、已知條件更加隱蔽的題型，它著力要求學生根據(jù)題設條件，把握特征，對“是否存在”作出準確的判定和正確的推斷，可以提高學生的判斷能力和演繹推理能力.

解答這一類問題，往往從承認結論、變結論為條件出發(fā)，然后通過特例歸納，或由演繹推理證明其合理性.探索過程要充分挖掘已知條件，注意條件的完備性，不要忽略任何可能的因為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐

而由橢圓x22b2+y2b2=1知F1(b，0)，所以2-b=b，即b=1.

故橢圓和拋物線的方程分別為x22+y2=1和x2=8(y-1)；

（2）①因為過A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點P，

所以以A為直角頂點的Rt△ABP只有一個，

同理以B為直角頂點的Rt△ABP只有一個.

②設P點坐標為x，18x2+1，A、B兩點的坐標分別為(-2，0)和(2，0)，

令t=x2，而關于t的二次方程164t2+54t-1=0恰有一正根，

于是x有兩解，即以P為直角頂點的Rt△ABP有兩個，

故拋物線上存在四個點P，使得ΔABP為直角三角形.

2.類比推廣型

這類探索性問題一般分兩類：一是由給定的已知條件求相應的結論.它要求充分利用已知條件進行猜想、透徹分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲取結論.另一類是根據(jù)兩個對象之間的相似性，把信息從一個對象轉移到另一個對象.類比的實質就是信息從模型向原型的轉移，類比的方法是以兩個對象之間的類似為基礎的.類比是創(chuàng)造性的“模仿”，聯(lián)想是“由此及彼”的思維跳躍.它有利于提高舉一反三、觸類旁通的應變靈活性.解決類比推廣型問題，要注意運用歸納、轉化、數(shù)形結合等思維方法.

你能得出怎樣的以一般結論，并給出證明.

分析:對所給各式進行比較觀察，注意各不等式左邊的最后一項的分母特點：1=21-1，3=2解析:歸納得一般結論：1+12+13+…+12n-1>n2(n∈N*).

證明：當n=1時，結論顯然成立.

故結論得證.

應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

公差為1的等差數(shù)列；a10n，a10n+1，…，a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列(d≠0).

推可得

3.條件缺失型

對于條件缺失的探索性問題，往往采用分析法，從結論和部分已知的條件入手，執(zhí)果索因，導出所需的條件.另外，需要注意的是，這一類問題所要求的往往是問題的充分條件，而不一定是充要條件，因此，直覺聯(lián)想、較好的洞察力都將有助于這一類問題的解答.

則對于給定的n，點P1，P2，…，Pn存在的充要條件是d>0.理由同上.

(解法3)若圓C:(x-a)2+y2=a2(a≠0)，P1(0，0)，

則對于給定的n，點P1，P2，…，Pn存在的充要條件是0

因為原點O到圓C上各點的最小距離為0，最大距離為2a，

且OP1=0，所以d>0且OPn2=(n-1)d≤4a2.即0

解答探索性問題，需要正確辨別題型，分析命題的結構特征，選擇解題的突破口，尋找出最優(yōu)的解題思路.

4.命題組合型

這類問題常分為兩類：（1）提供幾個論斷，要求以其中的部分論斷為條件，其余論斷為結論，組合成一個或幾個真(假)命題.其解法是根據(jù)組合知識，構造出若干個命題，并對這些命題予以論證或檢驗.(2）提供部分條件和命題模式，要你添加條件或結論，使之成為一個真命題.例5 設f(x)是定義域為R的一個函數(shù)，給出下列五個論斷：

①f(x)的值域為R；

②f(x)是R上的單調遞減函數(shù)；

③f(x)是奇函數(shù)；

④f(x)在任意區(qū)間［a，b］（af(b)；

⑤f(0)=0.

以其中某一論斷為條件，另一論斷為結論（例如：⑤①），至少寫出你認為正確的兩個命題：  .

解析:根據(jù)單調性的定義，不難知道：②④等價；又由于函數(shù)f(x)的定義域為R，所以③⑤.于是不難寫出兩個正確命題：③⑤；②④（或④②）.進一步思考，函數(shù)的值域與單調性、奇偶性并無直接聯(lián)系，而且單調性及奇函數(shù)與f(0)=0也不是等價的關系.所以，可以知道，只有上述三個正確命題.

點評:對于這一類只給出了一個特定的情境，而命題的條件、結論及推理論證過程均不確定的開放性試題，應該靈活運用數(shù)學知識，回顧相近的題型、結論、方法，進行類比猜想.在給定的情境中自己去假設，去求解，去調整方法，去確定結果.

例6 把下面不完整的命題補充完整，并使之成為真命題：

若函數(shù)f(x)=3+log2x的圖象與g(x)的圖象關于對稱，則函數(shù)g(x)= .

(注：填上你認為可以成為真命題的一件情形即可，不必考慮所有可能的情形)

解析:①x軸，g(x)=-3-log2x；②y軸，g(x)=3+log2(-x)；③原點，g(x)=-3-5.定義信息型

定義信息型問題的背景新穎，構思巧妙，能有效地甄別學生的思維品質和學習潛能.解題的關鍵是對新定義中信息的提取和轉化.

例7 定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合1，3，5，7，9的“孫集”的個數(shù)是.

解析:根據(jù)“孫集”的定義，孫集中至多含集合1，3，5，7，9中的三個元素.

集合1，3，5，7，9的三元子集共有C35=10個，二元子集共有C25=10個，單元子集有5個，也是孫集.故共有10＋10＋5＋1＝26個.

6.實驗操作型

這類問題的基本特征是：給出一定的條件要求設計一種方案.解決這類問題的基本策略是：需要借助逆向思考動手實踐.

例8 某自來水廠要制作容積為500m2的無蓋長方體水箱.現(xiàn)有三種不同規(guī)格的金屬制箱材料（單位:m）：（1）19×19；（２）30×10；（３）25×12請你選擇其中的一種規(guī)格并設計出相應的制作方案（要求用料最省，簡便易行）.

解析:“用料最省”等價于“無蓋水箱表面積最小”.因此先確定該水箱的尺寸使其表面積最小，然后根據(jù)尺寸選擇材料.

設無蓋水箱的長、寬、高分別為a，b，c，則其體積：V=abc=500m3，

表面積S=2bc+2ca+ab，

這樣問題可以轉化為：已知a，b，c為正數(shù)，abc=500.求2bc+2ca+ab的最小值及相應的a，b，c的值.

由均值不等式知2bc+2ca+ab≥332bc+2ca+ab=334(abc)2=300，

當且僅當2bc=2ca=ab，即a=b=10，c=5時，2bc+2ca+ab=300m2最小.這表明將無蓋水箱設為10×10×5時，用料最省.如何選擇材料并設計制作方案？我們可逆向思考，先將無蓋水箱分解(展開)，我們不難發(fā)現(xiàn)制作10×10×5的無蓋長方體水箱需一個10×10的正方形及4個10×5的長方形；而用一個30×10的長方形材料，我們只要割四次易得10×10正方形一個及10×5正方形4個.故選擇30×10的材料，不但用料最省而且簡便易行.

【評注】本題又是實際應用問題中的問題，解答時除了考慮前面提及的方法外，還需考慮實際意義及可行性.

總之，解決探索性問題，較少現(xiàn)成的套路和常規(guī)程序，需要較多的分析和數(shù)學思想方法的綜合應用.它對學生的觀察、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括等方面的能力有較高的要求.