題 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的圓記為C.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（Ⅱ）求圓C的方程；

（Ⅲ）問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

解：（Ⅰ）因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸僅有二個(gè)交點(diǎn)（－2，0）和（0，0）.

令f(x)=x2+2x+b=0，由題意知b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.

（Ⅱ）解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

令y=0得x2+Dx+F=0，這與x2+2x+b=0是同一個(gè)方程，故得D=2，F(xiàn)=b.

又已知拋物線與y軸的交點(diǎn)是（0，b）；

在圓方程中，令x=0得y2+Ey+F=0，因b為此方程的一個(gè)根，又F=b，解得E=-b-1.

故所求圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

解法二：（韋達(dá)定理、待定系數(shù)法）設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

又設(shè)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)，則由韋達(dá)定理得x1+x2=-2，即圓心在直線x=-1上，則有D=2.其與與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，故F=b.

并把坐標(biāo)(0，b)代入圓方程得b2-Eb+b=0，解得E=-(b+1).

故所求圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

（Ⅲ）解法一：（利用曲線系方程）圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（-2，1）.

原方程變?yōu)閤2+y2+2x-y+b(-y+1)=0，故已知方程是過(guò)直線y=1和圓x2+y2+2x-y=0的交點(diǎn)的圓系方程，解此二個(gè)方程聯(lián)立的方程組，得x=0，y=1或x=-2，y=1.

經(jīng)檢驗(yàn)知，圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，1）、（-2，1）.

解法二：（特殊值法）圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（-2，1）.

令b=1，原方程變?yōu)閤2+y2+2x-2y＋1=0，

令b=-1，原方程變?yōu)閤2+y2+2x-1=0，

解此二個(gè)方程聯(lián)立的方程組，得 x=0，x=-2.

y=1，y=1.

將此二組解代入圓方程x2+y2+2x-y+b(-y+1)=0，都適合，故圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，1）、（-2，1）.