數(shù)列是定義在N*或其子集上的函數(shù)，因而數(shù)列問題往往隱含著較為深厚的函數(shù)背景，探究數(shù)列的函數(shù)背景，用函數(shù)的觀點去思考問題、分析問題，是解決數(shù)列問題的重要思想方法.一、從函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征審視數(shù)列問題

1.一次函數(shù)結(jié)構(gòu)

設(shè)數(shù)列{an}是公差為d等差數(shù)列，則

（1）通項an=a1+(n-1)d=d#8226;n+(a1-d)，當(dāng)d≠0時，an為n的一次函數(shù).令d=A，a1-d=B，易得：{an}為等差數(shù)列an=An+B（A、B為常數(shù)）.

（2）由于前n項和Sn=na1+n(n-1)2d=d2#8226;n2+(a1-d2)n，所以Snn=d2n+（a1-d2），當(dāng)d≠0時，Snn為n的一次函數(shù).易得：{an}為等差數(shù)列{Snn}為等差數(shù)列Snn=An+B（A、B為常數(shù)）.

例1 (1)在等差數(shù)列{an}中，ap=q，aq=p（p≠q），求ap+q的值.

(2)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10=100，S100=10，求S110的值.

解：(1)因為{an}為等差數(shù)列，點（n，an）在直線y=Ax+B上，于是（p，ap）、（q，aq）、（p+q，ap+q）三點共線，即（p，q）、（q，p）、（p+q，ap+q）三點共線.

所以p-qq-q=ap+q-p(p+q)-qap+q=0.

(2)由{an}為等差數(shù)列，可得{Snn}為等差數(shù)列，點（n，Snn）在直線y=Ax+B上.于是（10，S1010）、（100，S100100）、（110，S110110）三點共線，即（10，10）、（100，110）、（110，S110110）三點共線.于是

10-11010-100=S110110-10110-10S110=-110.

2.二次函數(shù)結(jié)構(gòu)

等差數(shù)列{an}公差為d，前n項和Sn，則Sn=d2n2+(a1-d2)n，當(dāng)d≠0時，Sn為n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項.易知{an}為等差數(shù)列Sn=An2+Bn（A、B為常數(shù)）

例2 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差d>0，S3=S8.(1)求S11的值；(2)當(dāng)Sn為最小時，求n的值.

解：因為d>0，S3=S8所以Sn為n的二次函數(shù)，且點（n，Sn）適合的拋物線y=Ax2+B有以下特點：①開口向上；②過原點（0，0）；③對稱軸為x=3+82=5.5 (1)由對稱性知：拋物線與x軸的另一交點為（11，0），表明S11=0；

(2)由對稱軸x=5.5，而n∈N*，故Sn最大時，n=5或6

推廣：等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，若Sp=Sq（p≠q），則Sp+q=0. 3.指數(shù)函數(shù)結(jié)構(gòu)

等比數(shù)列通項公式an=a1qn-1=a1q#8226;qn.帶有明顯的指數(shù)函數(shù)背景，利用這一點，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可順利解決有關(guān)問題.

例3 已知{an}為正項等差數(shù)列，{bn}為正項等比數(shù)列，且a1=b1，a2n+1=b2n+1，試比較an+1與bn+1的大小.

解：①若{an}、{bn}均為常數(shù)列，則an+1=bn+1.

同理可得an+3=tan(xn+3×π3)=tanxn=an.

所以數(shù)列{an}是周期T=3的數(shù)列，于是a2008-a1=a2007+1-a1=a

所以數(shù)列{Pn}的最大項為第4項，且P4=19（19×4-24+1+2）=469

探究數(shù)列問題的函數(shù)背景，有利于從函數(shù)觀點理解數(shù)列，從而豐富數(shù)列問題的內(nèi)涵，解題中要善于結(jié)合函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與劃歸、分類討論等思想方法，不斷增強(qiáng)分析問題、解決問題的能力，提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).