摘要幾年來的教學(xué)研究與實(shí)踐，體會(huì)到在極限理論中，兩個(gè)重要極限的簡(jiǎn)化證明提供了一個(gè)便于高職高專高等數(shù)學(xué)教學(xué)簡(jiǎn)便的直接方法。

關(guān)鍵詞高職高專高等數(shù)學(xué)極限證明

中圖分類號(hào):O13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

《高等數(shù)學(xué)》微積分學(xué)中有兩個(gè)重要極限公式[sinx/x] =1及(1+1/n)n= e。表面上看這兩個(gè)公式只是解決了部分時(shí)型和時(shí)型極限的計(jì)算問題。實(shí)際上由于這兩個(gè)公式是高度抽象的，它們的含義非常深刻。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)極限是很重要的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生掌握極限的本質(zhì)還是很有必要的。兩個(gè)重要極限的簡(jiǎn)化證明，不僅給學(xué)生提供了一個(gè)提升對(duì)兩個(gè)重要極限的認(rèn)識(shí)的途徑，也提供了一個(gè)便于高職高專高等數(shù)學(xué)教學(xué)簡(jiǎn)便的直接方法。

1 兩個(gè)重要極限的地位及作用

極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則以及由它們所推導(dǎo)出的兩個(gè)重要極限，在求解極限問題中都占有很重要的地位。但是，我們往往注重的僅僅是它們?cè)谇髽O限過程當(dāng)中的運(yùn)用，而忽略了它們本身的證明，尤其是重要極限limn→∞(1+1n)n=e。針對(duì)這一現(xiàn)象，也為了拓展學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維，教學(xué)中應(yīng)給出重要極限limn→∞(1+n1)n=e的證明方法。針對(duì)不同層次的學(xué)生給予證法比較，有助于學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)。

2 兩個(gè)重要極限的證明

Ⅰ 極限[sinx/x] =1

該極限的證明，關(guān)鍵是證不等式:sinx

如圖:

設(shè)單位圓⊙O的漸開線為。若記∠TOA=x，并過T作TH⊥X軸于H，TBC切⊙O且交AC X及X軸分別于B、C，則

Sinx =TH

這個(gè)證明避免了傳統(tǒng)證法中的“循環(huán)論證”。

因扇形面積OAT=x的求得，一般是n等分∠AOT成n個(gè)等腰△AiOAi-1(i=1.2，…，n，A=A0，T=An)，則

∑△AiOAi-1=∑Sin(x/n)=n Sin(x/n)

此時(shí)，扇形面積OAT=∑△AiOAi-1=∑Sin(x/n)=x [Sin(x/n)/(x/n)]

顯然當(dāng)[Sin(x/n)/(x/n)]=1時(shí)，扇形面積OAT=x，但令t= x / n，則該極限為要證明的重要極限I，即出現(xiàn)循環(huán)論證。

Ⅱ 極限(1+1/n)n = e

設(shè)An=(1+1/n)n，利用算術(shù)和幾何不等式關(guān)系，得:

An=(1+1/n)(1+1/n)……(1+1/n)·1≦[(n(1+1/n)+1)/(n+1)] n+1

即數(shù)列{An}單增。

另外，設(shè)Bn=n/(n+1) ，利用算術(shù)和幾何不等式關(guān)系，得:

Bn=1- 1/(n+1)>1- 1/n=[(2·(1/2)+(n-2))/n] [(1/2)2·1n-2]=(1/4)1/n

則4≥ [(n+1)/ n]= (1+1/n)n

即數(shù)列{An}有上界。

于是，極限Ⅱ存在，并記為數(shù)e。

3 在練習(xí)中鞏固所學(xué)內(nèi)容，提升對(duì)兩個(gè)重要極限的認(rèn)識(shí)

選擇典型例題，利用兩個(gè)重要極限進(jìn)行極限的計(jì)算，提升對(duì)兩個(gè)重要極限的認(rèn)識(shí)。

例1 求。

解=()==1

例2求

解===

例3 求

解==e-1

例4求

解=[ln(1+x)]=1

例5求(1+sinx)2cotx

解(1+sinx)2cotx=[(1+sinx)]2sinxcotx

由于 (1+sinx) =e，sinxcotx=cosx=1

所以 (1+sinx)2cotx =e2。

通過對(duì)“兩個(gè)重要極限”的作用的深入分析和證明，指出它們不僅是微積分學(xué)的計(jì)算基礎(chǔ)，而且本身就體現(xiàn)了微積分學(xué)的基本思想，學(xué)習(xí)研究應(yīng)有積極思考，探微溯源的態(tài)度，才可抓住問題本質(zhì)，加深認(rèn)識(shí)，提高教學(xué)質(zhì)量。