唐彩斌

這是一個傳統(tǒng)教材沒有的內容。作為六年級的綜合與實踐活動內容，“五角星”走進了數(shù)學課堂。根據(jù)學生對五角星的了解以及小學數(shù)學學習的相關目標，筆者擬定了如下教學目標：

（1）通過觀察五角星，提出相關的數(shù)學問題，并能利用已學的知識和技能解決問題;

（2）經(jīng)歷觀察、操作、推理的過程，了解五角星形、邊、角、頂點的特點，并嘗試應用已學知識求一個角的度數(shù)和五角星的面積與周長，增強應用數(shù)學的能力;

（3）結合五角星的現(xiàn)實材料和數(shù)學作品，感受五角星的數(shù)學美，感悟五角星的文化價值。創(chuàng)建一個適合小學生學習的新內容，總是要上下兼顧，左右權衡。筆者把原汁原味的教學流程與思考陳述如下，與大家分享，并求教大家。

教學案例

（一）引出五角星，提出數(shù)學問題。

（1）師：這是我們國家的國旗和國徽（出示國旗、國徽圖片），在國旗和國徽上都有一個共同的圖形，是什么圖形？生：五角星。

（2）師追問：那你們能不能說說什么樣的圖形是五角星？（學生雖說認識但表達比較難。）

師：有些事物很熟悉，但當有人突然問是什么的時候會覺得困難，那我們就改改：說說五角星是什么樣的？（學生嘗試回答。）

（3）師：盡管你們很難說出五角星的特點，但是你們一定能判斷下面哪個是標準的五角星？（說明：3號五角星在超級畫板中是可以變化的，在變化的過程中讓學生判斷是否為標準的五角星。判斷的過程實際上就是在尋找標準五角星的特點。）

（4）師：那么五角星到底有哪些特點呢？今天我們就一起來研究它。

（5）師：請同學們觀察標準五角星（限定研究的范圍），結合我們所學的知識和研究其他平面圖形的方法，能不能提出一些數(shù)學問題？（學生提出的問題有：五角星是不是對稱圖形？五角星的角是多少度？怎么計算五角星的周長和面積？圖中有多少個頂點和交點？中心點在哪里？五角星的5個點是不是在同一個圓上？等等。）

（6）師：剛才大家提出了關于五角星的很多問題，我們選擇其中的一些按照一定順序來嘗試解決。（二）獨立思考，合作解決。

1.研究“形”。

（1）師：五角星是不是對稱圖形？有幾條對稱軸？（學生判斷。）

（2）作業(yè)紙上有兩個大小不同、角度不同的五角星，稍加變式，請學生畫出五角星的對稱軸。

（絕大部分學生能夠判斷出五角星是軸對稱，有5條對稱軸。）

2.研究“點”。

（1）師：五角星的點有什么特點？（學生回答有：對稱軸的交點就是中心點。

五角星中每行4個點，一共有5行;一共10個點，而不是20個點。我剛才畫了一個圓，發(fā)現(xiàn)五角星5個頂點都在一個圓上。）

（2）師追問：是不是所有的五角星都是這樣的呢？生：應該是的。

（如下圖，教師用超級畫板軟件拖動其中一點，五角星任意變大變小，但是無論哪個五角星，其5個頂點都在一圓上。這一環(huán)節(jié)雖然簡單，卻包含著學生猜想-驗證的過程，盡管是不完全歸納，但是在動態(tài)幾何軟件的支持下，變得很“任意”，提高了不完全歸納的“完全”程度。）

3.研究“角”。

師：我們再來研究五角星的角，主要研究5個頂角。五角星的一個角是多少度？教師啟發(fā)學生做如下的推斷：

方法1：∠2+∠4=∠6，∠3+∠5=∠7，∠1+∠6+∠7=180°，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°;所以五角星一個角的度數(shù)是180°÷5=36°。

上面右邊這組圖用來啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)一個外角等于不相鄰的兩個內角和。學生所需要的推理基礎是已學內容：三角形的內角和是180°，平角的度數(shù)是180°。

方法2：如方法1，根據(jù)三角形內角和180°，推算出正五邊形的內角和是540°，正五邊形有5個內角，所以一個內角是108°。又因為∠1+∠6+∠7=180°，∠6+∠1=108°，這樣可以推算出∠6=72°，∠7=72°，∠1=180°-72°×2=36°。

方法3略。

4.研究“周長和面積”。

（1）師：要計算五角星的周長和面積，需要度量哪幾條線段的長度？生：只要量得一條邊的長度，乘10便是五角星的周長。

（2）師：計算面積最少需要度量哪幾條線段？為什么？（學生嘗試測量與計算。教師組織學生之間交流，引導學生發(fā)現(xiàn)度量出OA，以及OA邊上的高，求得三角形OAF的面積，然后乘10就是五角星的面積。）

5.研究“黃金比”。

（1）師：五角星中有很多的線段，它們的長度看上去特別的舒服，這些線段之間有著怎樣的關系呢？（讓學生試著先說說自己的直覺。）

（2）引導學生在五角星中找出幾組具有黃金比的線段。學生按照提示找出對應的線段：IH：（）=EI：（）=EH：（）=0.618

（3）應用超級畫板展示動態(tài)五角星，驗證不同的五角星相應的線段都具有黃金比的性質。

（4）視學習情況補充一個具有挑戰(zhàn)性的問題：五角星中很多線段之間存在黃金比，其實五角星中的很多三角形也有“黃金”的特點：五角星中的5個三角形均為底角是72°、頂角是36°的等腰三角形，這樣的三角形也叫“黃金三角形”，如果畫出底角的角平分線，又會產生兩個三角形，仍然是黃金三角形?？梢酝ㄋ椎卣J為：五角星中滿是“黃金”。

（三）回顧整理，操作應用。

（1）師：學了今天的知識，你對五角星有了哪些新的了解？（學生回答有：五角星有5條對稱軸，一個角的度數(shù)是36度。還知道了只要測量其中一條線段就可以知道五角星周長，知道2條線段長度就可以計算出面積。五角星里有很多的黃金比。

五角星的5個頂點在同一個圓上。）

（2）引導學生回憶研究五角星的過程以及是如何分門別類地逐項研究的，感悟學習的基本方法。

（四）數(shù)學欣賞，課外延伸。

（1）師：關于五角星的數(shù)學問題有很多，例如著名的“奇妙的5點共圓”：給出一個五角星，每一個小三角形的外面都可以畫一個圓，每相鄰的兩個圓交于兩個點，其中之一是所得五邊形的頂點，另5點在同一圓上。還有很多美妙多變的五角星：轉動的五角星，美妙的五角星和五邊形，還有奇妙的五角星風車。

（2）師：五角星如此奇妙，以至除了中國，世界上有50多個國家的國旗中都有五角星，如美國、澳大利亞、新加坡等。

其實五角星的起源很早，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)最早的五角星圖案是在幼發(fā)拉底河下游（現(xiàn)屬伊拉克）一塊公元前3200年左右制成的泥板上。更有趣的是，古希臘的畢達哥拉斯學派用五角星形作為他們的徽章或標志，稱之為“健康”。還有更多的關于五角星的美妙問題等待著我們去發(fā)現(xiàn)！

（3）實踐作業(yè)：課后請同學們根據(jù)所學的知識制作一個五角星。

教學反思

在研發(fā)和執(zhí)教“認識五角星”的前前后后，筆者曾數(shù)十次地問過專家，也不斷地反問過自己：“這樣的內容可以進小學課堂嗎？”專家沒有否認，自然更加堅定了筆者探索這個課例的信心，并把此課作為冰山一角，洞察冰山下面的一大研究領域——實踐與綜合應用。

（一）有數(shù)學味的材料才可作為數(shù)學綜合應用的內容。作為一門課程的“綜合實踐活動”與數(shù)學學科中的實踐與綜合應用有著不同的教學定位。

“實踐與綜合應用”更關注數(shù)學的學科性。從大量成功的研究案例看來，筆者已經(jīng)漸漸明晰“好的實踐與綜合應用”應該是立足現(xiàn)實生活背景針對數(shù)學內容而開展的活動，應該把數(shù)學知識和技能的應用、數(shù)學活動經(jīng)驗的積累以及數(shù)學思想的滲透作為活動組織的價值取向。要讓學生覺得“好玩”，又要覺得“有味”。

“數(shù)學好玩”，是陳省身先生對數(shù)學學習的勉詞，也是學生在活動中熱愛數(shù)學的直接感受;有味，則是需要以數(shù)學味來吸引孩子們，需要依靠數(shù)學內在的魅力來驅動學習。若活動仍然停留在淺淺綜合泛泛實踐，或許只是形式而已，就不是數(shù)學實踐與綜合應用的目標所在。這節(jié)課是本人基于對綜合與實踐活動領域的思考進行探索的，可能并不是那種顯而易見的理想的綜合與實踐活動素材。

但是，當選擇了“五角星”這個素材的時候，筆者就一直沿著“數(shù)學”的路線不斷探尋五角星可以綜合的數(shù)學元素。那么它到底綜合了哪些方面的數(shù)學能力呢？

（1）關注學生提問能力和解決問題的策略?？粗环唵蔚膱D從數(shù)學的角度提出問題，這么多問題如何分門別類地解決？學生從整體到局部，從點到線，到圖形的周長和面積，在解決問題的過程中學會解決問題。

（2）借助五角星鞏固已有技能，拓展思維。判斷是否為軸對稱圖形，怎樣畫圓，怎樣應用已有知識“三角形的內角和180°”來推算五角星一個角的度數(shù)，怎樣計算五角星的周長和面積，怎樣估計出哪些線段之間存在黃金比……這些問題的解決都是數(shù)學基本知識和基本技能的應用，但在這節(jié)課上，這些知識和技能已經(jīng)不再是孤立的存在，而是貫穿在一起。從另一個角度來說，這些技能也不是在原有水平上的重復，而是在綜合應用中有了新的拓展，尤其是五角星一個角的度數(shù)的推導，雖然有“估”和“量”的基礎，但嚴謹?shù)耐茖菍W生縝密的邏輯思維能力的重要挑戰(zhàn)。

（3）引領學生進行數(shù)學欣賞。提升學生欣賞數(shù)學美的能力，能萌發(fā)學習數(shù)學的興趣，更重要的是能夠激發(fā)學生繼續(xù)探索更廣闊數(shù)學世界的欲望。另外，相關的文化史料也富有教育意義。

與我們所熟悉的那些類似于“超市購物”等問題相比，“五角星”這樣的素材更具有挑戰(zhàn)性，因為它不再停留在情境變換下數(shù)學知識和技能的鞏固，數(shù)學模型也不再是現(xiàn)成的，而是需要學生自己經(jīng)歷提出問題、解決問題的過程，積累根據(jù)實際情景自主建模的經(jīng)驗，而這種經(jīng)驗的積累和思想的滲透，正是數(shù)學教學的追求。

（二）用數(shù)學的眼光來發(fā)掘教學資源。五角星，一個非常熟悉的圖形，在現(xiàn)實生活中熟悉得有些普通。

但當我們以數(shù)學的眼光來看待它時，卻發(fā)現(xiàn)，原來它可以不斷激活學生已有的數(shù)學經(jīng)驗，并拓展他們的思維。實事求是地說，開始筆者也覺得五角星是個比較簡單的圖形，隨便看看說說畫畫，就可以上成一節(jié)課。后來在備課的過程中，不斷找資料，卻越來越發(fā)現(xiàn)原來五角星奇妙無比，深不可測。

王方漢先生把五角星寫成了專著，已故數(shù)學家和數(shù)學教育家傅種孫的教育文選中有一篇名文《從五角星談起》，從易到難，旁征博引，縱橫內外，娓娓道來，卻不知不覺地引向一般原理，深不可測……例如，關于五角星的點，除了植樹的問題外還有古題：十人抬五杠，每杠用四人，一人抬兩，如何抬法？可以應用五角星點的排列原理，由此可以推廣到：nc人抬n杠，每杠用2c人，一人抬兩，如何抬法？從五角星，到六角星，七角星……居然都適用。再比如，五角星內一共三類角，大小的比為1∶2∶3，沒想到這是可以引申的，七角星的角的比是1∶2∶3∶4∶5，九角星的角的比是1∶2∶3∶4∶5∶6∶7……還有，如果只量一條線段能不能測量五角星的面積，比如測量出半徑能否求出所在圓內的五角星的面積？答案是肯定的。五角星的面積與所在圓的面積的比是確定的，那么這個比是多少呢？正五角星的輪廓線圍成的區(qū)域面積約占其外接圓面積的1871/5236。

你可能覺得這個數(shù)據(jù)太大，如果用一個分母較小的分數(shù)來表示：正五角星的輪廓線圍成的區(qū)域面積約占其外接圓面積的4/15。像五角星這樣的素材一定還有很多，需要我們用數(shù)學的眼光把它們遴選到小學數(shù)學的學習內容中來，不受傳統(tǒng)經(jīng)驗的束縛，讓小學數(shù)學“可以有”的內容豐富起來，先豐富再嚴謹，與時俱進地構建小學數(shù)學學習內容新體系，讓小學數(shù)學的學習真正“好玩”起來。（作者單位系浙江省杭州現(xiàn)代小學數(shù)學教育研究中心、杭州市上城區(qū)教育學院）

編后

的確，我們很難想象得到，一個五角星里面，居然蘊藏著這么多的奧妙，從數(shù)學教學的角度來看，居然包含著這么多的寶貴資源！僅從這一點，或許就能啟發(fā)大家如何用數(shù)學的眼光，去發(fā)現(xiàn)更多更好的教學素材。

換個角度看，這個案例卻能帶給我們更多的深思?！皩嵺`與綜合應用”是個比較新的領域，對于實踐，大家已不再陌生，可是對于“綜合應用”，尤其是“綜合”的內涵，卻有著不同的理解。焦點可能還是在于，我們要追求的是拼盤式的綜合，還是有機整體式的綜合？這個有機整體，是指內容的前后關聯(lián)度，還是說有一個客觀的載體（比如五角星）就可以了？是泛泛地應用，還是深入數(shù)學本質？曾經(jīng)聽過一節(jié)初中數(shù)學課，講的是圓與圓的位置關系。

前面的環(huán)節(jié)都很平常，先讓學生形象描述5種位置關系，再探索用數(shù)量關系來刻畫這5種關系，之后，老師出了幾道習題來檢測，離開了形象的圖形之后來做這些題目，多少有些空落落的感覺，學生的思維開始磕磕絆絆走不動。不料，老師在一旁畫起了數(shù)軸，再一次把5種位置關系形象地標示在了數(shù)軸上。學生頓時豁然開朗。

課要結束時，一個學生說道：“原來數(shù)學也像生物鏈一樣，是一環(huán)扣一環(huán)的，與以前學習的點與圓的關系、線與圓的關系等一樣，是一以貫之的?！边@節(jié)課不是“實踐與綜合應用”的課，可是我以為，這個學生悟到的“一以貫之”思想，正是我們的數(shù)學課要給予孩子的最重要的一樣東西。回過頭來看，“五角星”一課，雖然基本上是幾何推理的內容，但內容跨度也不小。

不過，它選擇的是小問題串的形式，每個問題內部環(huán)環(huán)相扣，每個問題之間相對獨立。它的好處是，變換快，涉及知識點比較多，課堂內容豐富，也比較適合小學生注意力短的特點。案例同樣也引發(fā)我們反思：是否還有更好的綜合形式？是否還有更好的資源利用辦法？“實踐與綜合應用”的理想形態(tài)是什么樣的？我們希望借此展開討論。