在紙上畫三角形，無論怎樣畫，把三角形里面的3個(gè)角加起來，都會等于 180°即使畫100個(gè)、1000個(gè)，也絕對不會有一個(gè)例外。

那么，能不能找到一種三角形，它的內(nèi)角和不等于180°呢？

19世紀(jì)初，有個(gè)叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年決定獻(xiàn)身于這個(gè)研究。他父親是個(gè)數(shù)學(xué)家，聽到這個(gè)消息時(shí)嚇壞了，盡管父子倆天天生活在一起。老波里亞為了鄭重其事，竟親筆給兒子寫了一封勸告信。

波里亞深知父親的苦惱，但他沒有知難而退，義無反顧地闖進(jìn)了這個(gè)“毫無希望的黑夜”。他很快提出了一個(gè)新的平行公理：“在平面內(nèi)，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn)，至少可以作兩條直線與已知直線相平行?！边@個(gè)新公理否定了平行線的唯一性，一門新的幾何學(xué)就這樣誕生了，叫雙曲幾何學(xué)。凡是與舊的平行公理有關(guān)的定理，在雙曲幾何學(xué)中全都變得面目全非，成了許多聞所未聞的新結(jié)論。例如，在雙曲幾何學(xué)中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的內(nèi)角和，而它們又都比180°??！

真的能夠作出一種三角形，使它的內(nèi)角和小于180°？對于習(xí)慣在傳統(tǒng)幾何的框框里生活的人來說，這是“荒誕無稽”的奇談。連老波里亞也無法理解兒子的創(chuàng)造，斷然拒絕了幫助他發(fā)表的請求。直到1832年，在兒子的再三請求下，老波里亞才勉強(qiáng)同意將它作為一個(gè)附錄，隨同自己的著作一起出版。

老波里亞與“數(shù)學(xué)王子”高斯是大學(xué)時(shí)代的同窗好友，他把附錄的清樣寄給高斯，想聽聽這位數(shù)學(xué)權(quán)威的意見。1832年3月，高斯在回信中熱情稱贊小波里亞是個(gè)天才，但同時(shí)又說，他不便公開贊許，因?yàn)榉Q贊波里亞就等于稱贊他自己。原來，在此之前16年，高斯就已作出了同樣的發(fā)現(xiàn)。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究，唯恐因這種新幾何學(xué)直觀上的“荒誕無稽”而遭人恥笑。

早在波里亞著作發(fā)表的前6年，在遙遠(yuǎn)的俄羅斯大地上，已經(jīng)有位叫羅巴切夫斯基的數(shù)學(xué)家率先亮出了這門新幾何學(xué)的旗幟。羅巴切夫斯基是一個(gè)偉大的俄國數(shù)學(xué)家，他也有同樣的發(fā)現(xiàn)，并為捍衛(wèi)新幾何學(xué)戰(zhàn)斗了一生。當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們不理解他，認(rèn)為內(nèi)角和小于180°的三角形是一個(gè)“笑話”，還有人嘲笑他是“對有學(xué)問的數(shù)學(xué)家的諷刺”。而一些仇視革命思想的人，更是趁機(jī)對他進(jìn)行惡毒的攻擊和下流的謾罵。這一切都沒有使羅巴切夫斯基退卻，他接二連三地發(fā)表數(shù)學(xué)著作，甚至當(dāng)他已成為一個(gè)瞎眼老人時(shí)，仍然念念不忘地口授了一部《泛幾何學(xué)》，為這門新幾何學(xué)在數(shù)學(xué)王國里取得合理地位而大聲疾呼。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學(xué)的誕生，所以雙曲幾何學(xué)又叫羅氏幾何學(xué)。

羅巴切夫斯基、波里亞和高斯，用他們創(chuàng)造性的工作，動搖了“只能有一種可能的幾何”的傳統(tǒng)觀念，為創(chuàng)造不同體系的幾何開辟了道路。1854年，就在人們?nèi)栽诒г沽_氏幾何學(xué)“不可思議”時(shí)，高斯的學(xué)生黎曼，又給幾何王國增添了一種新的幾何學(xué)。黎曼提出了另一種新的平行公理：“在平面上，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn)，不能作直線與已知直線相平行?！边@個(gè)新公理干脆否定了平行線的存在性。以它為基礎(chǔ)，再加上以前的公理，就組成了橢圓幾何學(xué)，也叫黎曼幾何學(xué)。在這種新的幾何學(xué)里，三角形的內(nèi)角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于180°，也不小于180° ，而是大于180° 。

羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)更精確地反映了現(xiàn)實(shí)空間，但是，在我們的日常生活里，傳統(tǒng)幾何學(xué)已經(jīng)足夠精確了。在我們的視野范圍內(nèi)，水平面是非常接近于平面的。實(shí)際上，我們也根本無法測出它的彎曲度。這樣，測量水面上一個(gè)三角形的內(nèi)角和，雖然它實(shí)際上并不等于180° ，我們卻無法測出它與真實(shí)值之間的誤差。所以，在我們身邊這個(gè)不大不小的空間里，傳統(tǒng)的幾何學(xué)仍然是適用的。

因此，在紙上畫三角形，無論怎樣畫，把它的3個(gè)內(nèi)角加起來，都會等于180° 。但我們也應(yīng)當(dāng)知道，在數(shù)學(xué)王國里，確實(shí)存在一些“稀奇古怪”的三角形，它們的內(nèi)角和不等于180°。