摘 要:我國現(xiàn)階段高師院校的數(shù)學(xué)教學(xué)大多都是只注重形式化的演繹數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，而忽視了培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)的思想體系、文化內(nèi)涵和人文價值的認(rèn)識。在教學(xué)中增加數(shù)學(xué)史的內(nèi)容可以彌補(bǔ)這方面的不足。數(shù)學(xué)史對于揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實來源和應(yīng)用，對于引導(dǎo)學(xué)生體會真正的數(shù)學(xué)思維過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神都有重要意義。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)史;教育價值;教育功能;數(shù)學(xué)教學(xué)

在新一輪中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革中，數(shù)學(xué)史首先被看作理解數(shù)學(xué)的一種途徑，要通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)使學(xué)生體會數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深對數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神。數(shù)學(xué)史對于揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實來源和應(yīng)用，對于引導(dǎo)學(xué)生體會真正的數(shù)學(xué)思維過程，創(chuàng)造一種探索與研究的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氣氛，對于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)探索精神，對于揭示數(shù)學(xué)在文化史和科學(xué)進(jìn)步史上的地位與影響進(jìn)而揭示其人文價值，都有重要意義。高師院校是培養(yǎng)中學(xué)優(yōu)秀教師的搖籃，在高師院校的數(shù)學(xué)教學(xué)中更應(yīng)該注重將傳統(tǒng)的課程內(nèi)容與數(shù)學(xué)史有機(jī)地結(jié)合起來，用歷史上出現(xiàn)過的原始數(shù)學(xué)問題來引入教學(xué)的課題，并且運(yùn)用古人的樸素想法來解決一些相對簡單的問題，從而揭示了抽象的數(shù)學(xué)概念與方法所包含的豐富內(nèi)涵。

一、數(shù)學(xué)史教學(xué)的教育功能

(一)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)、形成正確的數(shù)學(xué)觀

學(xué)習(xí)一門學(xué)科首先要弄清楚這是一門怎樣的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要使學(xué)生“初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過程，體會數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用”，而現(xiàn)階段大學(xué)本科學(xué)生對數(shù)學(xué)的看法還大都停留在感性的層面上─枯燥、難學(xué)。數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征是什么?當(dāng)今數(shù)學(xué)究竟發(fā)展到了哪個階段?在科學(xué)中的地位如何?與其他學(xué)科有什么聯(lián)系?這些問題大都不被學(xué)生全面了解，而從數(shù)學(xué)史中可以找到這些問題的答案。

日本數(shù)學(xué)家藤天宏教授在第九次國際數(shù)學(xué)教育大會報告中指出，人類歷史上有四個數(shù)學(xué)高峰:第一個是古希臘的演繹數(shù)學(xué)時期，它代表了作為科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)的誕生，是人類“理性思維”的第一個重大勝利;第二個是牛頓—萊布尼茲的微積分時期，它為了滿足工業(yè)革命的需要而產(chǎn)生，在力學(xué)、光學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域獲得巨大成功;第三個是希爾伯特為代表的形式主義公理化時期;第四個是以計算機(jī)技術(shù)為標(biāo)志的新數(shù)學(xué)時期，我們現(xiàn)在就處在這個時期。而數(shù)學(xué)歷史上的三大危機(jī)分別是古希臘時期的不可度量，17、18世紀(jì)微積分基礎(chǔ)的爭論和20世紀(jì)初的集合論悖論，它同前三個高峰有著驚人的密切聯(lián)系，這種聯(lián)系絕不是偶然，它是數(shù)學(xué)作為一門追求完美的科學(xué)的必然。學(xué)生可以從這種聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)追求的是清晰、準(zhǔn)確、嚴(yán)密，不允許有任何雜亂，不允許有任何含糊，這時候?qū)W生就很容易認(rèn)識到數(shù)學(xué)的三大基本特征─抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛應(yīng)用性了。

同時，介紹必要的數(shù)學(xué)史知識可以使學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中對所學(xué)問題的背景產(chǎn)生更加深入的理解，認(rèn)識到數(shù)學(xué)絕不是孤立的，它與其他很多學(xué)科都關(guān)系密切，甚至是很多學(xué)科的基礎(chǔ)和生長點(diǎn)，對人類文明的發(fā)展起著巨大的作用。從數(shù)學(xué)史上看，數(shù)學(xué)和天文學(xué)一直都關(guān)系密切，海王星的發(fā)現(xiàn)過程就是一個很好的例子;它與物理學(xué)也密不可分，牛頓、笛卡兒等人既是著名的數(shù)學(xué)家也是著名的物理學(xué)家。在我們所處的新數(shù)學(xué)時期，數(shù)學(xué)(不僅僅是自然科學(xué))逐步進(jìn)入社會科學(xué)領(lǐng)域，發(fā)揮著意想不到的作用，可以說一切高技術(shù)的背后都有某種數(shù)學(xué)技術(shù)支持，數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為知識經(jīng)濟(jì)時代的一個重要特征。這些認(rèn)識對于高師院校的本科生來說是很有必要，也是必不可少的。

(二)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有利于培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)思維方式

現(xiàn)行的數(shù)學(xué)專業(yè)課教材一般都是經(jīng)過反復(fù)推敲的，語言十分精練簡潔。為了保持知識的系統(tǒng)性，把教學(xué)內(nèi)容按定義、定理、證明、推論、例題的順序編排，缺乏自然的思維方式，對數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，以及相應(yīng)知識的創(chuàng)造過程介紹也偏少。雖利于學(xué)生接受知識，但很容易使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識就是先有定義，接著總結(jié)出性質(zhì)、定理，然后用來解決問題的錯誤觀點(diǎn)。所以，在教學(xué)與學(xué)習(xí)的過程中存在著這樣一個矛盾:一方面，教育者為了讓學(xué)生能夠更快更好的掌握數(shù)學(xué)知識，將知識系統(tǒng)化;另一方面，系統(tǒng)化的知識無法讓學(xué)生了解到知識大都是經(jīng)過問題、猜想、論證、檢驗、完善，一步一步成熟起來的。影響了學(xué)生正確數(shù)學(xué)思維方式的形成。

數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)有利于緩解這個矛盾。通過講解一些有關(guān)的數(shù)學(xué)歷史，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識的同時，對數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程，有一個比較清晰的認(rèn)識，從而培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)思維方式。這樣的例子很多，比如說微積分的產(chǎn)生:傳統(tǒng)的歐式幾何的演繹體系是產(chǎn)生不了微積分的，它是牛頓、萊布尼茲在古希臘的“窮竭法”、“求拋物線弓形面積”等思想的啟發(fā)下為了滿足第一次工業(yè)革命的需要創(chuàng)造得到的，產(chǎn)生的初期對“無窮小”的定義比較含糊，也不像我們現(xiàn)在看到的這樣嚴(yán)密，在數(shù)學(xué)家們的不斷補(bǔ)充、完善下，經(jīng)過幾十年才逐步成熟起來的。

數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以引導(dǎo)學(xué)生形成一種探索與研究的習(xí)慣，去發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識在一個問題從產(chǎn)生到解決的過程中，真正創(chuàng)造了些什么，哪些思想、方法代表著該內(nèi)容相對于以往內(nèi)容的實質(zhì)性進(jìn)步。對這種創(chuàng)造過程的了解，可以使學(xué)生體會到一種活的、真正的數(shù)學(xué)思維過程，有利于學(xué)生對一些數(shù)學(xué)問題形成更深刻的認(rèn)識，了解數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實來源和應(yīng)用，而不是單純地接受教師傳授的知識，從而可以在這種不斷學(xué)習(xí)，不斷探索，不斷研究的過程中逐步形成正確的數(shù)學(xué)思維方式。

(三)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史為德育教育提供了舞臺

德育教育已經(jīng)不是像以前那樣主要是政治、語文、歷史這些學(xué)科的事了，數(shù)學(xué)史內(nèi)容的加入使數(shù)學(xué)教育有更強(qiáng)大的德育教育功能，我們從以下幾個方面來探討一下。首先，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育?，F(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材講的大都是外國的數(shù)學(xué)成就，對我國在數(shù)學(xué)史上的貢獻(xiàn)提得很少，其實中國數(shù)學(xué)有著光輝的傳統(tǒng)，有劉徽、祖沖之、祖暅、楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，有中國剩余定理、祖暅公理、“割圓術(shù)”等具有世界影響的數(shù)學(xué)成就，對其中很多問題的研究也比國外早很多年。然而，現(xiàn)階段愛國主義教育又不能只停留在感嘆我國古代數(shù)學(xué)的輝煌上，從明代以后中國數(shù)學(xué)逐漸落后于西方，20世紀(jì)初，中國數(shù)學(xué)家踏上了學(xué)習(xí)并趕超西方先進(jìn)數(shù)學(xué)的艱巨歷程。在新時代的要求下，除了增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感之外，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的“國際意識”，讓學(xué)生認(rèn)識到愛國主義不是體現(xiàn)在“以己之長，說人之短”上，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)上全人類應(yīng)該相互學(xué)習(xí)、互相借鑒、共同提高，我們要尊重外國的數(shù)學(xué)成就，虛心的學(xué)習(xí)，“洋為中用”。

其次，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀品質(zhì)。任何一門科學(xué)的前進(jìn)和發(fā)展的道路都不是平坦的，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，非歐幾何的創(chuàng)立，微積分的發(fā)現(xiàn)等等這些例子都說明了這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)家們或是堅持真理、不畏權(quán)威，或是堅持不懈、努力追求，很多人甚至付出畢生的精力。阿基米德在敵人破城而入危及生命的關(guān)頭仍沉浸在數(shù)學(xué)研究之中，為的是“我不能留給后人一條沒有證完的定理”。歐拉31歲右眼失明，晚年視力極差最終雙目失明，但他仍以堅強(qiáng)的毅力繼續(xù)研究，他的論文多而且長，以致在他去世之后的10年內(nèi)，他的論文仍在科學(xué)院的院刊上持續(xù)發(fā)表。對那些在平時學(xué)習(xí)中遇到稍微繁瑣的計算和稍微復(fù)雜的證明就打退堂鼓的學(xué)生來說，介紹這樣一些大數(shù)學(xué)家在遭遇挫折時又是如何執(zhí)著追求的故事，對于他們正確看待學(xué)習(xí)過程中遇到的困難、樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心會產(chǎn)生重要的作用。

最后，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以提高學(xué)生的美學(xué)修養(yǎng)。數(shù)學(xué)是美的，無數(shù)數(shù)學(xué)家都為這種數(shù)學(xué)的美所折服。能欣賞美的事物是人的一個基本素質(zhì)，數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美。很多著名的數(shù)學(xué)定理、原理都閃現(xiàn)著美學(xué)的光輝。例如畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)是初等數(shù)學(xué)中大家都十分熟悉的一個非常簡潔而深刻的定理，有著極為廣泛的應(yīng)用。兩千多年來，它激起了無數(shù)人對數(shù)學(xué)的興趣，意大利著名畫家達(dá)#8226;芬奇、印度國王Bhaskara、美國第20任總統(tǒng)Carfield等都給出過它的證明。1940年，美國數(shù)學(xué)家盧米斯在所著《畢達(dá)哥拉斯命題藝術(shù)》的第二版中收集了它的370種證明，充分展現(xiàn)了這個定理的無窮魅力。黃金分割同樣十分優(yōu)美和充滿魅力，早在公元前6世紀(jì)它就為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所研究，近代以來人們又驚訝地發(fā)現(xiàn)，它與著名的斐波那契數(shù)列有著十分密切的內(nèi)在聯(lián)系。同時，在感嘆和欣賞幾何圖形的對稱美、尺規(guī)作圖的簡單美、體積三角公式的統(tǒng)一美、非歐幾何的奇異美等時，可以形成對數(shù)學(xué)良好的情感體驗，數(shù)學(xué)素養(yǎng)和審美素質(zhì)也得到了提高，這是德育教育一個新的突破口。

二、把數(shù)學(xué)史看作理解數(shù)學(xué)的一種途徑

(一)了解數(shù)學(xué)理論發(fā)展的歷史背景，加深理解數(shù)學(xué)理論、公式、定理和數(shù)學(xué)思維

一般說來，歷史不僅可以給出一種確定的數(shù)學(xué)知識，還可以給出相應(yīng)知識的創(chuàng)造過程。對這種創(chuàng)造過程的了解，可以使學(xué)生體會到一種活的、真正的數(shù)學(xué)思維過程，而不僅僅是教科書中那些千錘百煉、天衣無縫，同時也相對地失去了生氣與天然性、已經(jīng)被標(biāo)本化了的數(shù)學(xué)。從這個意義上說，歷史可以引導(dǎo)我們創(chuàng)造一種探索與研究的課堂氣氛，而不是單純地傳授知識。它既可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們的探索精神，而歷史上許多著名問題的提出與解決方法還十分有助于他們理解與掌握所學(xué)的內(nèi)容。

寫在書本上的數(shù)學(xué)公式、定理、理論都是前人苦心鉆研經(jīng)過無數(shù)次的探索、挫折和失敗才形成的，是在當(dāng)時社會生產(chǎn)、人們的哲學(xué)思想、數(shù)學(xué)家的獨(dú)創(chuàng)精神聯(lián)系在一起的活生生的數(shù)學(xué)。但是，我們從書本的條文上，已看不到數(shù)學(xué)成長、發(fā)展的生動的一面，而只看到數(shù)學(xué)的濃縮的形式，這就妨礙我們對這些數(shù)學(xué)理論的深刻理解。

(二)數(shù)學(xué)史與師范院校本科數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容的整合

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神等。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，數(shù)學(xué)專業(yè)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)要求，同時設(shè)立“數(shù)學(xué)史選講”等專題，讓數(shù)學(xué)史與師范院校的數(shù)學(xué)專業(yè)課程教育有機(jī)整合。下面結(jié)合本人在師范院校幾何專業(yè)課程的教學(xué)經(jīng)歷，淺談一下數(shù)學(xué)史的內(nèi)容如何融入到實踐教學(xué)中去。 

1.歐氏幾何:歐氏幾何在全部幾何學(xué)中占有最基礎(chǔ)的地位。如果不對歐氏幾何有一個整體的理解，則不僅不可能理解后來的各種幾何學(xué)的由來與發(fā)展，而且也難以從根本上把握中學(xué)幾何教學(xué)中的基本問題。許多在傳統(tǒng)“高等幾何”課中所講的內(nèi)容其實都可以先在歐式平面上討論，使學(xué)生有一個印象，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行逐步抽象與推廣。這樣做比較符合歷史發(fā)展的順序和學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的規(guī)律。先詳細(xì)地介紹歐幾里得《幾何原本》第一卷中的所有命題，這是學(xué)習(xí)和理解公里體系的最好材料，從中可以知道什么是不定義術(shù)語、定義、公理、定理以及證明所需要的論據(jù)。這樣學(xué)生對中學(xué)教材就有了更深層的了解。另外，通過仔細(xì)講解第一卷，還為后面講第五公設(shè)的試證做好了準(zhǔn)備。接下來讓學(xué)生熟悉有關(guān)圓、相似三角形以及能夠反映歐氏幾何本身進(jìn)一步發(fā)展的定理和它們的證明。由此引出一系列結(jié)論，如巴普斯定理和關(guān)于圓內(nèi)接六邊形的帕斯卡定理、共線四點(diǎn)的交比、調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束及其對圓的應(yīng)用、圓的極點(diǎn)與極線、圓的外切六邊形的布里安桑定理等。

2.平面射影幾何:歷史上，射影幾何的深刻思想曾經(jīng)極大地拓展了人們的視野。如同在代數(shù)中引入至關(guān)重要的“i”一樣，數(shù)學(xué)家們通過引入虛無縹緲的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，把古典的歐氏幾何發(fā)展成了一個十分完美而且比較抽象的幾何理論。初步學(xué)習(xí)這個理論，有助于使學(xué)生在一個新的高度上重新認(rèn)識歐氏幾何。

從文藝復(fù)興時期的畫家們得到的繪畫透視幾何原理引出中心投影及其不變性質(zhì)和不變量的概念(例如交比在中心投影下不變)。然后介紹笛沙格和帕斯卡等人用中心投影的方法從圓的性質(zhì)推出許多關(guān)于圓錐曲線的性質(zhì)(例如關(guān)于切線的許多定理和帕斯卡定理等)，這實際上是通過中心投影這樣一個簡單的概念將圓與圓錐曲線統(tǒng)一起來了。

更為驚人的想法是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念的引入。笛沙格用這個想法統(tǒng)一了圓錐曲線的直徑和極線這兩個在希臘人看來是截然不同的概念。開普勒將拋物線看成是一個焦點(diǎn)是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的橢圓。通過引進(jìn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，就得到與歐式平面完全不同的射影平面。近代的幾何學(xué)家還系統(tǒng)地發(fā)展了“將給定直線投影到無窮遠(yuǎn)”的幾何證明方法，用這種獨(dú)特的方法可以很容易地證明關(guān)于圓錐曲線的笛沙格定理、帕斯卡定理和布里安桑定理等幾何命題。

3.球面幾何:彎曲空間是現(xiàn)代科學(xué)中的一個基本的幾何概念。傳授這方面知識的最好途徑是利用球面這樣一個簡單的曲面。生活在地球上的人類很早就開始了對于球面的研究。除了它的實用價值，球面幾何對于產(chǎn)生非歐幾何的想法也有明顯的啟發(fā)作用:它使學(xué)生首先認(rèn)識到直線可以彎曲，三角形的內(nèi)角和并不總是等于180度等。

4.雙曲非歐幾何:這部分將沿著歷史發(fā)展的順序，從古老而不朽的《幾何原本》第一卷出發(fā)，像歷史上的許多數(shù)學(xué)家一樣試證著名的第五公設(shè)，逐步進(jìn)入雙曲非歐幾何這樣一個完全是由人們想象出來的幾何新天地，使學(xué)生透徹地理解幾何學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)中的公理化方法。



參考文獻(xiàn):

[1]張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M].北京:高等教育出版社，2003.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京:高等教育出版社，2002. 

[3]劉潔民.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京:北京師范大學(xué)出版社，2003.