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        數學教學中學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)

        2009-04-08 10:05:12宋云峰
        中國校外教育(中旬) 2009年8期
        關鍵詞:概念思維數學

        宋云峰

        【摘要】中學數學教學中,教師必須精心重組教學內容,充分暴露數學思維活動過程,以激發(fā)起學生的探究創(chuàng)新思維。本文從數學概念的教學,數學定理的教學,數學證明的教學,定理應用的教學四個方面闡述了數學教學中學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。

        【關鍵詞】中學數學教學創(chuàng)新思維學生

        中學數學教材所呈現給學生的是“概念―定理―例題―習題”模式,是具有確切的概念、最少的公理和經過嚴謹的論證方法加工的純數學系統(tǒng),而對數學中基本概念的產生、形成、發(fā)展直至完善是如何走過來的,數學定理的發(fā)現、證明思路的猜測和證明方法的嘗試等思維活動是如何進行的,因種種局限談及不多,可這些往往是最能夠引發(fā)學生學習興趣,促進學生探索發(fā)現和發(fā)展學生思維的重要環(huán)節(jié),是中學數學教學不可忽視的。要發(fā)展學生的思維能力,教師必須精心重組教學內容,充分暴露數學思維活動過程,以“有待建立的形式”為學生創(chuàng)設問題情景,設計一條“再發(fā)現”的道路去探索和發(fā)現事物變化的起因與內在聯系,引起學生的認知沖突和構建,激發(fā)起學生的探究思維。

        暴露數學思維過程,就是要暴露數學概念、性質、法則、公式、公理、定理提出的過程,暴露解題、證題思路探索的過程,暴露數學知識應用的過程,暴露數學知識結構的建立、推廣和發(fā)展的歷史過程。

        一、數學概念的教學

        要重視概念引入的必要性。引入概念教學時,可以從實際問題出發(fā),對感性材料進行深刻分析,逐步概括抽象出概念來;或者是通過所學概念與學生認知結構中的某個適當概念實現同化來學習概念。如能結合生產和社會實踐,甚至結合數學史去講解,將對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維起到促進作用。比如,為什么有理數域要擴充到實數域,再要擴充到復數域,為什么是這樣的擴充辦法,這樣做的合理性在什么地方,又是怎樣想出來的,經歷了哪些主要坎坷,對數學的發(fā)展起了什么作用等。這樣教學,使概念教學不僅解決“是什么”的問題,還要解決“是怎樣想到”的問題,以及這個概念對以后建立、發(fā)展理論所發(fā)揮的作用的問題,把概念的來龍去脈和歷史背景弄清楚,從而深刻理解數學概念。

        二、數學定理的教學

        在數學定理的教學中,應遵循“尋求、發(fā)現、推證、運用”的思維過程進行教學。(1)尋求。教師創(chuàng)設教學鋪墊,在分析新舊知識間的本質聯系與區(qū)別的基礎上,確定同化(順應)模式,安排猜想尋求過程,在關鍵步驟上放手讓學生猜想尋求,給出定理的條件,或編制一些變換結論,缺少條件的“藏頭露尾”的題目,讓學生通過分析尋求一些結論,尋求解題的方向,尋求由特殊到一般的可能,尋求知識間的有機聯系。(2)發(fā)現。對尋求的結論用特殊的值去驗證,看結論與實際是否吻合,發(fā)現特殊性的問題。(3)推證。當實踐的結果與尋求的結論符合時,想辦法從理論上用自己前面學過的知識把結論推證出來,得出符合一般性的定理。(4)運用。把定理運用具體的解題當中,再次加深對定理的理解。

        如在等腰三角形有關重要線段定理教學時,引導學生在定理的條件(結論)不變時對結論(條件)從不同的角度去猜想尋求,發(fā)掘出定理的縱橫聯系,強化學生對定理的理解。命題“(A1)等腰三角形兩底角平分線的交點,(B1)必在底邊的中垂線上”,讓學生猜想,條件(A1)不變,如何對結論(B1)進行變換?換成(B2):“必在頂角的平分線上”;結論(B1)不變,條件(A1)進行變換,換成(A2):“等腰三角形兩上中線的交點”,換成(A3)“等腰三角形兩上高的交點”,換成(A4)“等腰三角形兩上中垂線的交點”,經過驗證就得出(A1)=>(B2),(A2)=>(B1),(A3)=>(B1),(A4)=>(B1)四個新定理,通過條件發(fā)散和結論發(fā)散,引導學生多向思維,培養(yǎng)創(chuàng)新求異思維品質。

        在數學定理的教學中,要引導學生弄清定理來源,反映數學創(chuàng)造和建立的過程。例如:三角函數這一章公式繁多,很多學生抓不住頭緒,其實公式雖多,其最基本的只有兩個sin(α+β)和cos(α+β)。在深刻理解這兩個公式后,其它公式的產生、證明和體系構建就清晰了,學生就可以在教師引導下自己去發(fā)現sin(α-β)和cos2α的推導過程,教師要引導學生觀察它們與sin(α+β)、cos(α+β)的聯系與區(qū)別,要為學生的發(fā)現創(chuàng)設情景和環(huán)節(jié),引導學生走進數學創(chuàng)造和建立的過程。

        三、數學證明的教學

        在尋求數學證明中,首先,要分清定理的條件和結論,要證明的結論是什么,怎樣敘述的,對這樣的敘述完全了理解嗎,要證明的例題還有沒有另外的敘述方法;等概念的結論各包含哪些事項,它們的關系怎樣;明晰已知什么、求證什么。其次,要思考由什么樣的前提才能推出要證明的例題,即由給定范圍內的哪些已學過的命題(定義、公理等)可以推出這個命題。在利用綜合法尋求證明的起點比較困難時,必須借助“倒推法”,即分析法才能找到證明的起點。有時是綜合法和分析法雙管齊下,從條件、結論推理去尋求二者呼應。例如,幾何證明題,從□ABCD頂點向形外的任意直線MN引垂線AA′,BB′,CC′,DD′,垂足分別A′、B′、C′、D′,求證:AA′+CC′=BB′+DD′。

        分析:此題結論比較復雜,所以要從條件、結論去尋求二者呼應。

        特點:四條線段都與直線MN垂直;

        聯想:四條平行線段是否可構成梯形?

        猜想:欲證線段“AA′+CC′”和“BB′+DD′”的關系,梯形中有定理涉及兩底邊和的,讓這四條線段作為梯形底邊,可否解決問題?

        驗證:要構成梯形AA′C′C和梯形AA′C′C,從而,作輔助線連結AC,BD交于點O。

        再聯想:要使四條線段是梯形上下底,其和只能與梯形的中位線有聯系。

        問題:如何做中位線?O點有什么意義?

        驗證:作OO′垂直線MN,可證出OO′是兩個梯形的共用中位線,進而AA′+CC′=BB′+DD′被肯定。在幾何證明中經常是這樣從條件探索結論,從結論求因至條件,或是同時從條件和結論兩邊探索達到吻合而得以求證。

        四、定理應用的教學

        在數學定理的應用教學中,教師必須創(chuàng)設一系列情景,讓學生主動探索,發(fā)現新問題。一是要利用一題多解,訓練學生發(fā)散思維。在呈現單向、正向思維的基礎上,引導學生進行多向思維,就不同的角度、不同的方位、不同的觀點分析思考同一問題,從而擴充思維的范圍,收到舉一反三的效果,求新求異,提高教學質量。二是要利用互逆因素,訓練學生逆向思維。正向思維定勢經常制約學生思維空間的拓展。三是要抓住分析時機,訓練學生聯想思維,聯想能使學生進行多角度地去觀察思考問題,進行大膽聯想,尋求答案。四是要抓住猜想時機,訓練學生靈感思維。要注意使學生獨立思考、標新立異,從例子和已知知識中發(fā)現和提出新的數學問題,學會怎樣分析、怎樣判斷、怎樣推理、怎樣發(fā)現、怎樣解決問題。通過深化和減弱條件,通過加強結論、一般化、推廣、特殊化、類比等引出或轉化成別的問題,尋求一題多變、一題多解、多題一解,以及此問題同彼問題的聯系和區(qū)別。五是通過知識的系統(tǒng)化,訓練學生概括思維。建立新知識與已有認知結構中的相關知識橫向聯系,概括出帶有普遍性的規(guī)律,從而推動同化、順應的深入。

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