摘 要:不定積分比求導(dǎo)運(yùn)算要困難，如何運(yùn)用基本的積分方法來解題，卻有靈活的方法和巧妙的技巧;本文對(duì)不定積分技巧作了初步的歸納，并通過例題作了具體的說明，希望能起到拋磚引玉的作用。

關(guān)鍵詞:不定積分 湊微分 分部積分法 待定系數(shù)法

中圖分類號(hào):G642.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào): 1673-1875(2009)02-121-01

不定積分法是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)最基本、最重要的運(yùn)算。然而積分法與微分法相比有著顯著的不同:微分法總有一定的法則可循，但積分法并非完全具有一定的法則可依循，這正是積分法的困難之處。積分法的兩個(gè)基本法則是換元法與分部積分法，這兩個(gè)法則的運(yùn)用對(duì)于剛開始學(xué)習(xí)積分法的學(xué)生來說，往往感到很困難。另外，雖然幾種類型函數(shù)(如有理函數(shù)、三角有理函數(shù)、簡單無理函數(shù)等)的積分法是有一定法則可循的，但是，從簡捷的觀點(diǎn)來說，這些通常的方法對(duì)具體的積分問題，特別對(duì)于一些難題，又往往不一定是最好的方法。因此，如何根據(jù)每個(gè)積分的具體特點(diǎn)，以簡捷的步驟得出結(jié)果是很重要的。本文將舉一些計(jì)算中帶技巧性的例子，來說明一些常用的積分技巧;當(dāng)然這些技巧的掌握，主要還是依賴于熟練的代數(shù)與三角知識(shí)以及多觀察、分析例題，做大量的習(xí)題，并從演題的過程中隨時(shí)吸取經(jīng)驗(yàn)。

一、換元法

1、湊微分

使用湊微分法的難處在于如何“湊”出一個(gè)函數(shù)的微分。對(duì)于這個(gè)問題一方面要求熟悉一些常見函數(shù)的微分形式，另一方面，對(duì)于那些不易觀察的，則不妨從被積函數(shù)中拿出一個(gè)表達(dá)式，求其微分，從而決定如何湊微分。

2、拆(添)項(xiàng)

將被積函數(shù)拆(添)項(xiàng)，把積分變?yōu)閹讉€(gè)較簡單的積分，是求不定積分常用的技巧之一。

例：求下列不定積分:

（1）dx（2）dx

（1）解：先給分子加一項(xiàng)減一項(xiàng)，再將積分拆項(xiàng)。

dx=dx=(1+)dx=x-ln(1+ex)+C

（2）解：分析當(dāng)分母是sinmxcosnx的形式時(shí)，常將分子1改寫成sin2x+cos2x然后拆項(xiàng)進(jìn)行積分。因此

原式=dx=dx+dx

=-d(cosx)+d(tanx)

=+lntanx+C

=sec2x+lntanx+C

二、方程法

運(yùn)用分部積分公式后，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)如下的情況:

f(x)dx=g(x)+tf(x)dx，(t≠1)解得f(x)dx=

例：求exsinxdx

解：exsinxdx=sinxdex=exsinx-excosxdx

等式右端的積分與等式左端的積分是同一類型的，對(duì)右端的積分再用一次分部積分法，得exsinxdx=exsinx-cosxdex=exsinx-excosx-exsinxdx

所以exsinxdx=(sinx-cosx)ex+C

三、有理化

將被積函數(shù)中的無理函數(shù)化為有理函數(shù)，是積分常用的手段之一。有理化的方法常常是換元。

四、相消法

將原始積分拆項(xiàng)后，對(duì)其中一項(xiàng)用分部積分公式，以消除另一項(xiàng)，或?qū)Σ痖_的兩項(xiàng)各分部積分一次后，將未積出的部分相互消除，這也是求不定積分時(shí)常用的技巧。

五、遞推法

運(yùn)用分部積分法，可建立In關(guān)于下標(biāo)的遞推公式。由此遞推公式，就把計(jì)算In歸結(jié)為計(jì)算In-1，依此類推，最后歸結(jié)為計(jì)算I1，I0

六、待定系數(shù)法

這里所說的待定系數(shù)法，是指在求不定積分時(shí)，若預(yù)知結(jié)果的形式，只是其中含有待定的常數(shù)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法確定這些常數(shù)，進(jìn)而求出積分。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。