數(shù)學(xué)的發(fā)展史表明，重要的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展，對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著不可估量的作用，有些重要的數(shù)學(xué)概念，對數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生更起著奠基性的作用。函數(shù)就是這樣的重要概念。

最早提出函數(shù)(function)概念的，是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(1646-1716)，最初萊布尼茨用“函數(shù)”一詞表示冪，如x²，x³，x⁴等都叫函數(shù)，以后，他又用函數(shù)表示直角坐標(biāo)系中曲線上一點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)。

1718年，萊布尼茨的學(xué)生、瑞士數(shù)學(xué)家貝努利把函數(shù)定義為：由某個變量及任意的一個常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量，這個定義的意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，貝努利其實強調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示。

后來，一些數(shù)學(xué)家覺得不應(yīng)該把函數(shù)概念局限在“能用公式來表示”上，只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以了，至于這些變量的關(guān)系是否能用公式來表示，不應(yīng)作為判別函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。

1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把函數(shù)定義為：如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，就把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)，在歐拉的定義中，就不再強調(diào)函數(shù)要用公式表示了，由于函數(shù)不一定要用公式來表示，歐拉就把畫在坐標(biāo)系中的曲線也叫做函數(shù)，他認為：“函數(shù)就是隨意畫出的一條曲線。”

當(dāng)時有些數(shù)學(xué)家對于不用公式來表示函數(shù)感到很不習(xí)慣，甚至抱懷疑態(tài)度，他們把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”。1821年，法國數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本中函數(shù)定義的函數(shù)定義!在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系。當(dāng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值隨之而確定時，則將最初的變數(shù)叫做自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)，在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞。

1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新的層次。

1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基進一步提出函數(shù)的定義：x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每一個x都有確定的值，并且它隨著x一起變化；函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法。這個定義指出了對應(yīng)關(guān)系(即所說的“條件”)的必要性，利用這個關(guān)系，可以求出每一個，的對應(yīng)值。

1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷認為，怎樣去建立x與y之間的對應(yīng)關(guān)系是無關(guān)緊要的，所以他的定義是：如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)，這個定義抓住了函數(shù)概念的本質(zhì)，比前面的定義更有普遍性，為理論研究和實際應(yīng)用提供了方便。因此，這個定義之后曾被長期使用，依據(jù)這個定義，狄利克雷舉了一個例子：對0≤x≤1，當(dāng)x為有理數(shù)時，對應(yīng)y=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，對應(yīng)y=0，這就是一個函數(shù)(也就是著名的狄利克雷函數(shù))，它的圖象很難畫出來。

中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞，我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》一書時，把“funetion”譯成了“函數(shù)”。

中國古代“函”字與“含”字通用，都有“包含”的意思，李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)，”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數(shù)或變量，所以“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思。