摘 要：R軟件是一種開源式的，具有強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)分析和作圖功能，非常適合金融和證券分析學(xué)者應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)軟件。文章介紹使用R軟件檢驗(yàn)Markowitz投資組合模型的重要假設(shè)之：證券收益率服從正態(tài)分布，以及應(yīng)用期望值法和指數(shù)平滑法進(jìn)行證券預(yù)期收益率的預(yù)測(cè)，通過分析可以看出R軟件以其自由、靈活、高效的特點(diǎn)，在證券分析和預(yù)測(cè)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：R軟件 Markowitz模型 證券收益率 預(yù)測(cè)

中圖分類號(hào):F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-4914(2008)11-224-03

一、R軟件簡介

R是一個(gè)有著統(tǒng)計(jì)分析功能及強(qiáng)大作圖功能的軟件系統(tǒng)，由Ross Ihaka和Robert Gentleman1共同創(chuàng)立。R語言可以看作是由ATT貝爾實(shí)驗(yàn)室所創(chuàng)的S語言發(fā)展出的一種方言。因此R既是一種軟件也可以說是一種語言。首先，R是完全免費(fèi)的自由軟件，使用者可以在上面隨意進(jìn)行二次開發(fā)。它開放源代碼，具有很多功能強(qiáng)大的第三方開發(fā)的模塊。其次，R是一種可編程的語言，使用者可以在R中很容易的寫出自己希望執(zhí)行的程序，不會(huì)受固定模塊的限制。再次，R具有很強(qiáng)的互動(dòng)性，輸入和輸出都是在同一個(gè)窗口進(jìn)行（除了圖形輸出），這點(diǎn)和SAS有很大的區(qū)別。最后，R具有強(qiáng)大的圖形輸出功能，輸出的圖形輸出的圖形不但可以存成JPG、BMP、PNG等主流圖片格式，還可以保存為PDF文件。它善于輸出各種常用的統(tǒng)計(jì)圖形，如餅圖、直方圖、散點(diǎn)圖、箱圖、QQ圖等。

相比于大家熟悉的統(tǒng)計(jì)軟件SPSS和SAS，R軟件以其高度的靈活自由性正受到越來越多統(tǒng)計(jì)學(xué)者的青睞。以易用性著稱的SPSS和功能強(qiáng)大的SAS軟件都包括了很多功能強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)分析模塊，分析人員必須在它們既定的模塊上進(jìn)行各種分析。但是，隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，越來越多的統(tǒng)計(jì)分析新方法被提出來，尤其是在證券分析領(lǐng)域，使用既定模塊分析的統(tǒng)計(jì)軟件已經(jīng)不能及時(shí)地跟上發(fā)展的速度。這個(gè)時(shí)候就需要人們自己用編程來實(shí)現(xiàn)這些新方法，R就提供了這樣一個(gè)很好的平臺(tái)。

二、理論基礎(chǔ)

（一）Markowitz投資組合模型

∑wi=1

wi＞0，i=1，2，...，N

Markowitz證券投資模型所基于的的重要假設(shè)之一是：證券的收益率可以視為隨機(jī)變量且服從正態(tài)分布，其性質(zhì)由均值和方差來描述。

（二）證券預(yù)期收益率的預(yù)測(cè)方法

在證券收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)下，我們必須對(duì)模型中的一個(gè)重要參數(shù)——證券的預(yù)期收益率ui做出合理預(yù)測(cè)。在此，我們介紹預(yù)測(cè)證券預(yù)期收益率常用的兩種方法：計(jì)算證券收益率的期望值和加權(quán)期望值。

計(jì)算證券收益率的期望值，這是Markowitz在其著名的論文《投資組合選擇》中所使用的方法。他通過計(jì)算最近N周內(nèi)收益率的期望值作為第N+1周收益率的預(yù)測(cè)值。而計(jì)算加權(quán)期望值的方法則有很多，如果投資者認(rèn)為據(jù)目標(biāo)期時(shí)間越近則關(guān)系越密切，那么就可以將歷史數(shù)據(jù)中的各時(shí)期的收益率進(jìn)行加權(quán)平均，使得據(jù)目標(biāo)期時(shí)間越近的收益率的權(quán)重越大。這類方法中最常見的當(dāng)屬指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑法的基本公式是：St=αYt+(1-α)St-1，其中St表示時(shí)間t的平滑值，α表示時(shí)間t的實(shí)際值，表示時(shí)間t-1的平滑值；表示平滑常數(shù)，其取值范圍為[0，1]。St是Yt和St-1的加權(quán)算數(shù)平均數(shù)，α的取值大小決定了Yt和St-1對(duì)St的影響程度。St具有逐期追溯性質(zhì)，可探源至S1為止，包括全部數(shù)據(jù)。在此過程中，平滑常數(shù)α以指數(shù)形式遞減，故稱之為指數(shù)平滑法。平滑常數(shù)的取值至關(guān)重要，它決定了平滑水平以及對(duì)預(yù)測(cè)值與實(shí)際結(jié)果之間差異的響應(yīng)速度。平滑常數(shù)α越接近于1，遠(yuǎn)期實(shí)際值對(duì)本期平滑值的下降越迅速；平滑常數(shù)α越接近于0，遠(yuǎn)期實(shí)際值對(duì)本期平滑值影響程度的下降越緩慢。由此，當(dāng)時(shí)間數(shù)列相對(duì)平穩(wěn)時(shí)，可取較大的α；當(dāng)時(shí)間數(shù)列波動(dòng)較大時(shí)，應(yīng)取較小的α，以不忽略遠(yuǎn)期實(shí)際值的影響。

三、R軟件在證券收益率的分析與預(yù)測(cè)中的應(yīng)用實(shí)例

1.驗(yàn)證Markowitz模型的重要假設(shè)：證券收益率服從正態(tài)分布。

（1）數(shù)據(jù)讀取。

對(duì)于存儲(chǔ)在文本文件（ASCII）中的數(shù)據(jù)，R可以用函數(shù)read.table來創(chuàng)建一個(gè)數(shù)據(jù)框，這也是讀取表格形式數(shù)據(jù)的主要方法。例如若包含某證券共100周開盤和收盤指數(shù)信息的數(shù)據(jù)文件“data.txt”存放在D盤上，我們可通過以下命令格式來讀?。?/p>

mydatas<-read.table(\"d:/data.txt\"，col.names(\"p0\"，\"p1\"))

其中數(shù)據(jù)框名為mydatas，數(shù)據(jù)框中每個(gè)變量被依次命名為：p0，p1，（缺省值為V1，V2……）。

（2）計(jì)算證券的周收益率。

wp=(mydatas[\"p1\"]-mydatas[\"p0\"])/mydatas[\"p0\"]

通過使用fix（wp）函數(shù)，可以對(duì)wp的變量名進(jìn)行修改，使其具有直觀的名字，如weekprofit。

輸出結(jié)果：

>wp

weekprofit

1 1.66087551

2 -0.61299388

3 -0.85826857

…………

98 -1.13587649

99 -0.95793858

100 -1.51198618

（3）對(duì)周收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析。

運(yùn)用R中的summary和fivenum函數(shù)可以得到數(shù)據(jù)組的匯總信息，并對(duì)數(shù)據(jù)組的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)獲得初步了解。命令格式：

summary(wp$weekprofit)

輸出結(jié)果為：

Min.1st Qu. Median Mean 3rd Qu.Max.

-1.6070 -0.3188 0.3479 0.3854 1.0790 2.8640

命令格式：

fivenum(wp$weekprofit)

輸出結(jié)果為：

-1.6066727 -0.31954760.34792321.09358282.8636463

（4）做出周收益率的直方圖。

為了更加直觀的分析周收益率這組單變量數(shù)據(jù)的分布，我們首先做出柱形圖（如圖1），命令格式為：

hist(wp$weekprofit)

（5）繪制密度圖。

為了更加清晰地分析該數(shù)據(jù)組的分布特征，我們?cè)谥螆D基礎(chǔ)上繪制密度圖（如圖2），命令格式為：

lines(density(wp$weekprofit))。

（6）求周收益率的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

命令格式為：

ecdf(wp$weekprofit)

輸出結(jié)果為：

> ecdf(wp$weekprofit)

Empirical CDF

Call:ecdf(wp$weekprofit)

x[1:100] = -1.6067， -1.5275， -1.512，...， 2.6041， 2.8636

（7）做出經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖（如圖3）。

命令格式為：

plot(ecdf(wp$weekprofit)，verticals=TRUE)

（8）擬合正態(tài)分布。

從以上的分析可以看出這個(gè)數(shù)據(jù)組的分布還是與正態(tài)分布比較相似的，因此我們擬合一個(gè)正態(tài)分布，并且使擬合后的圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖相重疊（如圖4）。命令格式為：

>plot(ecdf(wp$weekprofit)，verticals=TRUE)

>x<-seq(-1.7，3，0.1)

>lines(x，pnorm(x，mean=mean(wp$weekprofit)，sd=sqrt(var(wp$weekprofit))))

圖4中的實(shí)線便是正態(tài)分布的擬和線，由上圖可以清晰地看到，擬和后的曲線與原經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)基本吻合。但要具體考察二者的吻合程度，R軟件為我們提供了更精確的工具。

（9） 做出分位比較圖（Q-Q圖）。

為研究（8）中正態(tài)擬和線與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的吻合程度，R軟件提供了分位比較圖（Q-Q圖）（如圖5）來完成這個(gè)任務(wù)。命令格式為：

qqnorm(wp$weekprofit)

qqline(wp$weekprofit)

由圖5可見，二者具有優(yōu)良的吻合度，未出現(xiàn)明顯的偏離正態(tài)期望的長尾區(qū)域。

（10）做正態(tài)性檢驗(yàn)。

R中提供了Shapiro-Wilk檢驗(yàn)和Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)兩種正規(guī)的正態(tài)性檢驗(yàn)方法。命令格式分別為：

shapiro.test(wp$weekprofit)

ks.test(wp$weekprofit，\"pnorm\"，mean=mean(wp$weekprofit)，sd=sqrt(var(wp$weekprofit)))。

如果樣本較大，例如大于1000，我們可以選用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)，反之可以選擇Shapiro-Wilk檢驗(yàn)。本文所選樣本較小，因此采用Shapiro-Wilk檢驗(yàn)可以得到以下輸出結(jié)果：

Shapiro-Wilk normality test

data:wp$weekprofit

W=0.9881，p-value=0.5136

假設(shè)顯著性水平為α=0.05，由于上述檢驗(yàn)所得的，因此可以驗(yàn)證證券收益率近似服從正態(tài)分布。

2.預(yù)測(cè)證券的預(yù)期收益率。

其中，R表示預(yù)期收益率；α表示加權(quán)系數(shù)，介于0和1之間，由投資者決定。

注1:一般情況下如果收益率序列{ri}波動(dòng)不大，則α應(yīng)取小一點(diǎn)，比如：0.1-0.3；如果收益率序列{ri}波動(dòng)較大，則α應(yīng)取大一點(diǎn)，比如：0.6-0.8。

> r=NULL

> r[1]=(wp[1，1]+wp[2，1])/2

> for(i in 2:100){

r[i]=0.1*wp[i-1，1]+(1-0.1)*r[i-1]}

> R=NULL

> R=0.1*wp[100，1]+(1-0.1)*r[100]

輸出結(jié)果為：

>R

-0.3395193

四、小結(jié)

本文簡要介紹了R統(tǒng)計(jì)軟件的特點(diǎn)，并舉例介紹了如何應(yīng)用R軟件檢驗(yàn)Markowitz模型的重要假設(shè)：證券收益率近似服從正態(tài)分布。我們先后求出了證券的周收益率，做出了柱形圖，求出了密度函數(shù)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，進(jìn)行了正態(tài)分布擬合，用分位比較圖驗(yàn)證了吻合程度，最后應(yīng)用Kolmogorov-Smirnov法進(jìn)行了正態(tài)檢驗(yàn)，得出結(jié)論。接下來，我們又運(yùn)用R軟件，通過自由編程，結(jié)合期望值法和指數(shù)平滑法分別對(duì)證券的預(yù)期收益率進(jìn)行了預(yù)測(cè)。通過分析我們可以看到R軟件具有強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)分析和作圖功能，在證券分析中的應(yīng)用非常自由、方便、有效。

從以上的示例可以看出，R在進(jìn)行證券分析與預(yù)測(cè)時(shí)具有廣泛的應(yīng)用空間，它并不局限于解決某一類問題。例如在證券的數(shù)據(jù)分析中，R還可以應(yīng)用于各類概率分布的擬和，如logistic分布、Poisson分布等，并進(jìn)行相關(guān)的假設(shè)檢驗(yàn)。此外，R除了具有可以與其他商業(yè)軟件相媲美的統(tǒng)計(jì)分析功能，還為廣大的用戶提供了一個(gè)強(qiáng)大靈活的編程平臺(tái)，這無疑為證券分析學(xué)者提供了一個(gè)靈活而自由的創(chuàng)新空間。

參考文獻(xiàn)：

1．陳一非，王斌會(huì)．R-靈活強(qiáng)大的自由統(tǒng)計(jì)分析軟件[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2004（9）

2．Harry Markowitz. Portfolio Selection [J]. The Journal of Finance，Vol.7， No.1.(Mar.， 1952): pp.77-91

（作者單位：廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 福建廈門 361005)

(責(zé)編:賈偉)