[摘要]本文針對目前常用的成績標(biāo)準(zhǔn)化的處理方法進(jìn)行了綜合比較，提出了新的成績標(biāo)準(zhǔn)化算法—變權(quán)算法，并對其進(jìn)行了有效性證明。基于變權(quán)算法開發(fā)出了“成績標(biāo)準(zhǔn)化信息管理系統(tǒng)”應(yīng)用軟件。

[關(guān)鍵詞]變權(quán)算法 成績標(biāo)準(zhǔn)化 應(yīng)用軟件

1問題提出

長久以來，學(xué)生的考試成績由于試題的難易程度不同，使得整體分?jǐn)?shù)不滿足正態(tài)分布或及格率偏差過大，這時(shí)就需要對成績進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。當(dāng)試題偏難，學(xué)生成績普遍不理想時(shí)，需要加分提高成績。如果統(tǒng)一加同樣的分?jǐn)?shù)顯然會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)超過100分的越界情況，因此該辦法不能用，目前教師常用的兩種方法是：分段加分和開方乘十法。這兩種方法也存在明顯的缺點(diǎn)。

分段加分法存在名次顛倒問題。例如，給60分以下的同學(xué)每人加8分；61~70分的同學(xué)每人加6分；71~80分的同學(xué)每人加4分；81~90分的同學(xué)每人加2分；91~95分的同學(xué)每人加1分；96分以上的同學(xué)不加分。這樣處理的結(jié)果會造成臨界分?jǐn)?shù)段的同學(xué)成績與原來的排名次序顛倒的問題，例如，原來80分的人變成了85分（80+4=84），而原來81分的人卻只有83分（81+2=83），這種名次顛倒顯然是不公平的。

開方乘10法使用不便，開方乘10法（對分?jǐn)?shù)m 進(jìn)行10m處理，如對100分進(jìn)行處理10100=100）雖然克服了統(tǒng)一加分法的分?jǐn)?shù)越界和分段加分法的順序顛倒的問題，但是該方法的及格分?jǐn)?shù)線被固定在了36分（1036=60），也就是說，不管什么情況都將36分及36分以上的同學(xué)統(tǒng)統(tǒng)劃為及格。很顯然在許多場合這種開方乘十法是不適用的。

教師們迫切需要一種既能保證分?jǐn)?shù)不會越界，順序不會顛倒，又要及格線任意可調(diào)的通用算法來進(jìn)行成績標(biāo)準(zhǔn)化的處理。

2研究發(fā)現(xiàn)新算法——變權(quán)算法

2.1變權(quán)算法研究

考慮到對分?jǐn)?shù)僅用一個(gè)常數(shù)作為權(quán)系數(shù)或開方數(shù)為固定整數(shù)進(jìn)行調(diào)整，是不可能滿足有界性（保證分?jǐn)?shù)在0~100之間）和單調(diào)性（保證成績排名次序不變）這兩個(gè)要求的，也不能實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)線任意可調(diào)的目的。因此，我們采用2個(gè)參數(shù)同時(shí)對分?jǐn)?shù)進(jìn)行調(diào)整，一個(gè)調(diào)整權(quán)系數(shù)，另一個(gè)調(diào)整開方數(shù)，兩個(gè)參數(shù)根據(jù)分?jǐn)?shù)及格線的不同而發(fā)生變化。兩個(gè)參數(shù)不一定是整數(shù)，均有可能是帶小數(shù)的實(shí)數(shù)。

設(shè)x為學(xué)生的考試成績，a為權(quán)系數(shù)，b為開方數(shù)，對x按下式調(diào)整時(shí)

a(x)b(1)

需滿足以下條件：當(dāng)分?jǐn)?shù)x為100時(shí)，調(diào)整結(jié)果仍然為100，即

a(100)b=100(2)

當(dāng)確定某一分?jǐn)?shù)m為及格線時(shí)，調(diào)整結(jié)果應(yīng)為60分，即a(m)b=60(3)

將（2）式和（3）式組成方程組，得：

a×(100)b=100

a×(m)b=60

其中m為已知數(shù)。解方程得：

a=100/100log (0.6) / log(0.01m) (4)

b=log(0.6)/log(0.01m) (5)

所以，當(dāng)及格線確定后，就能夠計(jì)算出兩個(gè)參數(shù)的值，從而可以根據(jù)這兩個(gè)參數(shù)對所有的成績進(jìn)行調(diào)整。例如，及格線為50分，根據(jù)（4）式和（5）式計(jì)算出a=3.357908，b=0.736956，則可以對所有的成績x用公式（1）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。原分?jǐn)?shù)為60分的同學(xué)，調(diào)整后的標(biāo)準(zhǔn)成績?yōu)椋?/p>

3.357908×1000.736956=68.6286

在具體操作時(shí)可以對標(biāo)準(zhǔn)成績統(tǒng)一進(jìn)行四舍五入取整，即60分變?yōu)?9分。下面將兩個(gè)特殊的分?jǐn)?shù)100分（邊界值）和50（及格線）分用上述方法進(jìn)行處理：

3.357908×1000.736956=99.9999997≈100

3.357908×500.736956=59.9999998≈60

可見100分仍為100分，50分變成了60分，處理結(jié)果是符合要求的。

2.2變權(quán)算法的有效性證明

為了從理論上更加嚴(yán)格地說明該算法能夠滿足單調(diào)性、有界性這兩個(gè)條件，下面給出相關(guān)的數(shù)學(xué)證明。

設(shè)需要調(diào)整的實(shí)際分?jǐn)?shù)為x，調(diào)整及格線分?jǐn)?shù)為m，（0≤x≤100，0≤m≤100）

則根據(jù)變權(quán)算法，標(biāo)準(zhǔn)化成績調(diào)整公式為：

y=axb(6)

其中參數(shù)a 、b的值可由下列條件方程組解得：

a×(m)b=60(7)

a×(100)b=100(8)

即 b=log(0.6)/log(0.01m)=(log6-1)/log(m-2)>0(log是以10為底)

a=100/100b=1001-b>0

∴ 指數(shù)函數(shù)y=axb為單調(diào)遞增。

下面證明有界性。即當(dāng) 0≤x≤100時(shí)0≤y≤100

取端點(diǎn)值 x=100

即 y=a×100b=100 (由條件方程組中（3）式可得)

當(dāng)x取另一端點(diǎn)值 x=0時(shí)

y=a×0b=0

∵函數(shù) y=axb為單調(diào)遞增函數(shù)。

∴標(biāo)準(zhǔn)化成績調(diào)整函數(shù) y=axb（a=1001-b，b=(log6-1)/log(m-2) ）

是單調(diào)有界的，并且當(dāng) 0≤x≤100時(shí)0≤y≤100。

通過以上證明，說明變權(quán)算法在理論上是有充分依據(jù)的。

3變權(quán)算法與其它常用算法比較

前面提到了一些常用算法存在的缺點(diǎn)，變權(quán)算法已經(jīng)全部克服了這些缺點(diǎn)。變權(quán)算法既能做到使及格分?jǐn)?shù)線任意確定，又能保證調(diào)整后的標(biāo)準(zhǔn)成績不會越界，而且保持原來分?jǐn)?shù)的順序不變。下面通過表1具體的數(shù)據(jù)把各種常用的方法加以比較。

從表中數(shù)據(jù)可以清楚地對比各種算法的優(yōu)劣，一些簡單算法雖然便于小批量數(shù)據(jù)的手工操作，但缺點(diǎn)明顯；而變權(quán)算法明顯有其優(yōu)勢。

4軟件開發(fā)

由于變權(quán)算法不太適合手工操作，但其可以非?？茖W(xué)和合理地對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工處理?；谧儥?quán)算法開發(fā)出的“成績標(biāo)準(zhǔn)化信息管理系統(tǒng)”利用Visual Basic 6.0軟件平臺開發(fā)的“成績標(biāo)準(zhǔn)化信息管理系統(tǒng)”，可以直接讀取Excel電子表格中的成績數(shù)據(jù)，處理后的數(shù)據(jù)將自動寫入原Excel電子表格中。這樣，教師可以對原始數(shù)據(jù)和處理后的結(jié)果直接加以比較，如果不滿意可以再次處理。

“成績標(biāo)準(zhǔn)化信息管理系統(tǒng)”提供了制定“按及格分?jǐn)?shù)”和制定“不及格比例”兩種方式進(jìn)行數(shù)據(jù)調(diào)整。在按“不及格比例”方式進(jìn)行數(shù)據(jù)調(diào)整時(shí)，程序能夠自動計(jì)算出此時(shí)的及格分?jǐn)?shù)線并顯示出來（由于人數(shù)要取整數(shù)，因此，在人數(shù)較少時(shí)不及格比率會略高于輸入的控制比率）。該系統(tǒng)不僅為用戶提供了方便的操作，而且能夠自動進(jìn)行成績分析。如統(tǒng)計(jì)各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)、平均成績、標(biāo)準(zhǔn)差等，并將成績處理前后的分析結(jié)果加以對比，使用戶一目了然地看到數(shù)據(jù)處理前后的不同結(jié)果。

“成績標(biāo)準(zhǔn)化信息管理系統(tǒng)”不僅適用于各種大型的水平考試對成績處理的需求，也可以方便地用于平時(shí)各門功課的成績處理，該軟件已經(jīng)投入實(shí)際使用。

（作者單位：中國藥科大學(xué)）