[摘要]利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限可以簡(jiǎn)化計(jì)算。本文主要探討了極限式中含積商、加減因子時(shí)用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的問(wèn)題，補(bǔ)充了教材中常避開的極限式中含加減因子不能用無(wú)窮小代換來(lái)求極限的難題，并給出了相應(yīng)代換的條件和應(yīng)用實(shí)例。

[關(guān)鍵詞]等價(jià) 無(wú)窮小 極限 代換

無(wú)窮小量是指在變化過(guò)程中極限為0的變量，而等價(jià)無(wú)窮小是指在變化過(guò)程中比值極限為1的兩個(gè)無(wú)窮小量。常用的等價(jià)無(wú)窮小有：當(dāng)x→時(shí)，；。恰當(dāng)利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算。本文就從極限式中含積商、加減因子的兩種不同情形展開探討。

一、極限式中有積商因子的等價(jià)無(wú)窮小代換

二、極限式中有加減因子的等價(jià)無(wú)窮小代換

對(duì)于極限式中有積商因子時(shí)，很多教材都有提到可以用等價(jià)無(wú)窮小代換來(lái)簡(jiǎn)化極限運(yùn)算，上面也已用定理推論來(lái)保證這種可能性。但對(duì)于極限式中有加減因子時(shí)，很多教材是避而不談或干脆說(shuō)無(wú)窮小代換只能在積商因子中進(jìn)行。其實(shí)，只要利用以下幾點(diǎn)，碰到極限式中有加減因子時(shí)，我們還是可以用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)化簡(jiǎn)極限運(yùn)算的。

1.對(duì)于多項(xiàng)式中的各項(xiàng)一般不能單獨(dú)作等價(jià)無(wú)窮小代換。如典型錯(cuò)例：

2.把加減因子化成積商因子再代換。還是上例：

由上兩例可知，若分子（或分母）是由有限個(gè)無(wú)窮小加減形成的，我們可用與它等價(jià)的另一組有限個(gè)加減形成的無(wú)窮小去代換，可大大化簡(jiǎn)極限運(yùn)算。

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(作者單位：廣東中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院)