[摘要]小概率事件原理是概率論中實(shí)用價(jià)值較高、應(yīng)用泛圍較廣的基本理論，本文從實(shí)際生活的典型事例出發(fā)，運(yùn)用該原理來(lái)分析解決此類問(wèn)題，從而揭示獨(dú)立重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)中，小概率事件發(fā)生的必然性。

[關(guān)鍵詞]概率統(tǒng)計(jì) 小概率事件 假設(shè)檢驗(yàn) 應(yīng)用

一、問(wèn)題的提出

在概率統(tǒng)計(jì)中，為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，必須計(jì)算種種隨機(jī)事件的概率，由于隨機(jī)現(xiàn)象的多樣性，我們不得不研究各種數(shù)學(xué)模型，并對(duì)每一種模型進(jìn)行具體分析。

問(wèn)題（萬(wàn)峰湖魚(yú)數(shù)量）：假設(shè)從萬(wàn)峰湖里捕了1000條魚(yú)，系上紅線后，放回去，過(guò)了一段時(shí)間后，又捕了1000條魚(yú)，現(xiàn)在其中5條魚(yú)系著紅線，試估計(jì)湖中魚(yú)的總數(shù)。

此問(wèn)題可用不退還抽樣的概率公式求其估計(jì)值。我們將重點(diǎn)探討如何利用小概率事件檢驗(yàn)關(guān)于湖中魚(yú)的個(gè)數(shù)的假設(shè)。

二、小概率事件的認(rèn)識(shí)

一小概率事件，不管其概率是多么小，其值總是一個(gè)確定的正數(shù)。該事件隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，遲早會(huì)發(fā)生的概率趨近于1。事實(shí)上，假如在某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A的概率為

P（A）=ε，ε是一個(gè)充分小的正數(shù)，則不論ε如何小，只要不斷獨(dú)立地重復(fù)這一試驗(yàn)，事件A總是會(huì)發(fā)生的（即A發(fā)生的概率為1）。

設(shè)以A k表示事件A于第k次試驗(yàn)中發(fā)生這一事件，則P（A k）=ε。

從而在前n次試驗(yàn)中，A都不發(fā)生的概率為：

故在前n次試驗(yàn)中，A至少發(fā)生一次的概率為：

當(dāng)n→∞時(shí)，由于0＜ε＜1，有l(wèi)imn→∞pn=1

記事件Bn={前n次試驗(yàn)中A至少發(fā)生一次}，則必有

這就說(shuō)明了雖然事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，但在不斷地重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，A總會(huì)發(fā)生。

在概率論的基礎(chǔ)理論研究中，大量隨機(jī)現(xiàn)象具有某種穩(wěn)定的性質(zhì)，例如頻率的穩(wěn)定性，平均結(jié)果的穩(wěn)定性等等，它反映了偶然性與必然性之間的辯證關(guān)系。為了揭示這種實(shí)際上的必然性或?qū)嶋H上的不可能性，我們對(duì)概率接近于1或0的事件的研究，具有重大的意義。概率論的基本問(wèn)題之一，就是要建立概率接近于1或0的規(guī)律。特別是對(duì)大量獨(dú)立或弱相關(guān)因素的累積結(jié)果所發(fā)生的規(guī)律的研究，將導(dǎo)致“依概率收劍”和“依概率1收劍”等概念的產(chǎn)生，與此同時(shí)，相應(yīng)的（弱）大數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律的研究也應(yīng)運(yùn)而生。

三、不退還抽樣的計(jì)算公式

現(xiàn)在就假定有形狀完全相同的N個(gè)球裝在壇子里，其中N1個(gè)是白的，N2個(gè)是黑的，我們從壇子里抽n個(gè)球，在抽的時(shí)候我們并不知道它的顏色。這里有兩種情況：一種是抽出的球看了它的顏色之后再放到壇子里去；一種是抽出的球不再放回去，前者稱為退還抽樣，后者稱為不退還抽樣。

不退還抽樣：這是在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常見(jiàn)的情形，即從N個(gè)事物組成的母體中抽出大小為n的一個(gè)子樣，這種情形對(duì)于統(tǒng)計(jì)抽樣技術(shù)是很重要的。

在這種情形，我們顯然必須要求n≤N，此外，顯然所求的概率當(dāng)v＞N1或n-v＞ N2時(shí)為零，因?yàn)闃颖局邪浊虻膫€(gè)數(shù)不可能大于N1，黑球的個(gè)數(shù)不可能大于N2，對(duì)于其它v的值，我們可借助古典概型，計(jì)算其概率，由N個(gè)事物中抽取n個(gè)共有N

n種方法，有利于我們事件發(fā)生的方法共有N1

v#8226;N2

n-v種方法，于是有v個(gè)白球，n-v個(gè)黑球的概率計(jì)算公式為：

具體問(wèn)題：為了估計(jì)湖中的魚(yú)數(shù)N，自湖中捕出r條魚(yú)，做上記號(hào)放回湖中；然后再?gòu)暮胁冻鰏條魚(yú)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這s條魚(yú)中有ξ條標(biāo)有記號(hào)。這里N是未知常數(shù)，r、s是已知常數(shù)，試問(wèn)應(yīng)如何估計(jì)N的值？

問(wèn)題分析：

由不退還抽樣，則知事件{X=ξ}的概率由超幾何分布所確定，代入上公式（*）有：

其中RV-ξ為整數(shù)，是第二次捕出的有記號(hào)的魚(yú)數(shù)，且滿足

四、小概率事件在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用

設(shè)有一統(tǒng)計(jì)假設(shè)H，當(dāng)H正確時(shí)，事件A是一個(gè)小概率事件，即它發(fā)生的可能性很小，在一次試驗(yàn)中，我們實(shí)際上可以認(rèn)為A不會(huì)發(fā)生。做一次試驗(yàn)，如果A發(fā)生了，則我們有理由懷疑假設(shè)H的正確性，從而拒絕H，如果A沒(méi)有發(fā)生，我們就接受H。于是小概率事件，為我們提供了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)的方法。下面介紹利用小概率事件檢驗(yàn)關(guān)于湖中魚(yú)的個(gè)數(shù)的假設(shè)。

萬(wàn)峰湖魚(yú)數(shù)量問(wèn)題解答：

我們假定兩次捕魚(yú)都是從全部魚(yú)中隨機(jī)地進(jìn)行的，并且在第二次捕魚(yú)時(shí)，魚(yú)的數(shù)量未發(fā)生變化，如果變化不大，對(duì)研究問(wèn)題的影響也可忽略不計(jì)。

令 N=湖中魚(yú)的總數(shù)（未知）

r =第一次捕魚(yú)的魚(yú)數(shù)=1000

s =第二次捕的魚(yú)數(shù)=1000

ξ=第二次捕的魚(yú)中系著紅線的魚(yú)數(shù)=5

Pξ(N) =第二次捕的魚(yú)中恰有ξ條系紅線的魚(yú)的概率

由不退還抽樣的計(jì)算公式(*)有：

上式中，s、r和ξ是可以觀察到的，而N是未知的，但我們知道，已有s + r -ξ條魚(yú)被捕到過(guò)，從而s + r -ξ≤N，在我們的例子里s + r -ξ =1000+1000-5=1995，故我們可以肯定湖中至少有1995條魚(yú)，但如果我們作一假定N=1995，則

利用stirling公式：

可知它是一個(gè)很小的數(shù)，其數(shù)量級(jí)為10--430，即在n=1995的假設(shè)下，第二次捕1000條魚(yú)有5條系紅線是一個(gè)概率很小很小的事件，而小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生。因此，我們傾向于拒絕N=1995條的假設(shè)。

同理N很大，例如N=108這一假設(shè)，也必須拒絕，怎么辦？

我們想辦法找一個(gè)，使得Pξ(N)當(dāng)N=時(shí)最大，這個(gè)叫做N的極大似然估計(jì)。由極大似然原理的直觀想法：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A、B、C…..。若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A發(fā)生有利，也即A出現(xiàn)的概率最大。

為了找考慮比值：

故我們就把=200000看作是對(duì)湖中魚(yú)的總數(shù)所作的合理的估計(jì)。

上面給出的方法具有一般性，可用同樣方法估計(jì)一個(gè)城市的人口總數(shù)或汽車總數(shù)。這種檢驗(yàn)法本身并不是從邏輯上嚴(yán)格論證假設(shè)H的正確與否，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中我們不能證明任何統(tǒng)計(jì)假設(shè)的真?zhèn)?，而是?duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)作出拒絕或接受的選擇。

在利用小概率事件檢驗(yàn)假設(shè)H時(shí)，我們可能犯兩種錯(cuò)誤。如果H真，我們拒絕了它，我們犯了第一類錯(cuò)誤。因?yàn)橹挥挟?dāng)小概率事件A發(fā)生時(shí)，我們才拒絕H，故犯第一類錯(cuò)誤的概率為P（A）。也有時(shí)H不真，我們接受了它，這時(shí)我們犯了第二類錯(cuò)誤。

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，制定檢驗(yàn)法時(shí)，常常是先控制犯第一種錯(cuò)誤的概率，然后使犯第二種錯(cuò)誤的概率盡可能地小。

參考文獻(xiàn)：

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[2]馬文.概率應(yīng)用及思維方法[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，1989.

（作者單位：貴州黔西南民族師范高等?？茖W(xué)校）