[摘 要] 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中變量間的關(guān)系往往表作一個(gè)（組）微分方程或差分方程，它們是兩類不同的方程，前者處理的是連續(xù)變量，而后者處理的則是依次取非負(fù)整數(shù)的離散變量，這兩類方程在經(jīng)濟(jì)研究中有著重要的應(yīng)用。本文著重介紹差分方程在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞] 差分方程 存(貸)款 消費(fèi) 供需 數(shù)學(xué)模型

在經(jīng)濟(jì)分析中往往需要尋找與問(wèn)題有關(guān)的變量之間的函數(shù)關(guān)系，這類問(wèn)題可用微分方程來(lái)解決，但是，許多實(shí)際問(wèn)題中，數(shù)據(jù)大多是按時(shí)間間隔周期統(tǒng)計(jì)，因此，有關(guān)變量的取值是離散變化的，如何尋求它們之間的關(guān)系和變化規(guī)律呢?差分方程則是研究這類離散型數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。

一、差分方程簡(jiǎn)介

定義:含有未知函數(shù)差分或表示未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的符號(hào)的方程稱為差分方程，一般形式為F(χ，yχ，yχ+1，…，yχ+n)=0形如

yχ+1-ayχ=f(χ)(a≠0為常數(shù))（1）

當(dāng)f(χ)≡0，則yχ+1-ayχ=0 (2）

(1)式稱為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，(2)式稱為一階常系數(shù)齊次線性差分方程。對(duì)應(yīng)于方程(2)的特征方程為λχ+1-aλχ=0，即λ-a=0，而λ=a為特征方程的根(簡(jiǎn)稱特征根），從而Yχ=caχ(C為任意常數(shù))是齊次方程(2)的通解。對(duì)于方程(1)設(shè)特解為Y*χ，若f(χ)=Pn(χ)，則方程(1)具有形如Y*χ=χkQn(χ)的特解，其中Qn(χ)是與Pn(χ)同次的待定多項(xiàng)式，而K的值由如下確定；

(1)若1不是特征方程的根，k=0，（2)若1是特征方程的根，k=-1故方程(1)的通解為yχ=Y*χ+Yχ

若f(χ)=μχPn(χ)型，此時(shí)方程(1)為yχ+1-ayχ=μχPn(χ)作變換令yχ=μχZχ則原方程為μZχ+1-aZχ=Pn(χ)，可得Z*χ，于是Y*χ=μχZ*χ。

二、差分方程應(yīng)用舉例

1.存款模型

例1:設(shè)本金為P0，年利率為r，一年后本利和為S1，求n年末的本利和為多少。

解:∵Sn+1=Sn+rSn即Sn+1-(1+r)Sn=0，這是一個(gè)一階常系數(shù)齊次線性差分方程，其特征方程為λ-(1+r)=0，解得特征根為λ=1+r，于是齊次線性差分方程的通解為Sn=c(1+r)n，當(dāng)c=S0時(shí)，Sn=S0(1+r)n，這就是初始存款S0，年利為r，按年復(fù)利計(jì)息，n年末的本利和公式。

2.貸款模型

例2:某房屋總價(jià)為a元，先付一半可入住，另一半由銀行以年利r貸款，n年付清，問(wèn)平均每月付多少元？共付利息多少元？

解:設(shè)每個(gè)月應(yīng)付χ萬(wàn)元(貸款額為萬(wàn)元），月利率是，第一個(gè)月應(yīng)付利息為;，第二個(gè)月應(yīng)付利息為;

于是類推可得;，即這是一個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程的特征方程為，所以特征根為，其對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程的通解為;。

由于1不是特征方程的根，于是令Y*t=a，代入原方程得，即χ=a，于是Y*t=χ，故原方程的通解為，當(dāng)時(shí)，得，所以原方程滿足初始條件的特解為

于是n年利息之和為

上式中12nχ為還款總數(shù)，貸

款數(shù)，12nχ-是利息I。

故

即：

每月還款額=貸款本金×

這就是平均每月償還貸款本金和利息的計(jì)算公式。而利息I=12nχ-，即，

利息=每月還款額×貸款期數(shù)-貸款本金

3.消費(fèi)模型

例3:設(shè)yt為t期國(guó)民收入，Ct為t期消費(fèi)，I為投資(各期相同），設(shè)三者有關(guān)系yt=Ct+I。

Ct=ayt-1+β，且已知t=0時(shí)，yt=y0其中0＜a＜1，β＞0

試求yt和Ct。

解:由yt＝Ct＋I(xiàn)，Ct=ayt-1+β得yt-ayt-1=β+I這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性差分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程的特征方程為λ-a=0，得λ=a，于是方程的通解為Yt=Cat，由于1不是特征根，于是令Y*t=a，代入原方程得，因此，原方程的通解為，又由于t=0時(shí)，yt=y0求得，于是得到，上式即為t期國(guó)民收入隨時(shí)間t變化的規(guī)律。從而

4.供需模型

例4:某種商品t時(shí)期的供給量St與需求量Dt都是這一期價(jià)格Pi的線性模型;

St=-a+bpt(a，b＞0），Dt=C-dpt，(c，d＞0），設(shè)t時(shí)期的價(jià)格pt由t-1時(shí)期的價(jià)格Pt-1與供給量及需求量之差St-1-Dt-1按下述關(guān)系;Pt=Pt-1-λ(St-1-Dt-1)所確定，（其中λ為常量），即Pt-[1-λ(b-d)]Pt-1=λ(a+c)，

(1)求供需相等時(shí)的價(jià)格P0(稱為均衡價(jià)格）。

（2)求商品的價(jià)格隨時(shí)間的變化規(guī)律。

解:(1)由St=Dt，于是P0=

（2)由題設(shè)可得Pt-[1-λ(b+d）]Pt-1=λ(a+c)這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性差分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Pt=A[1-λ(b+d)]t(其中A為任意常數(shù)），再求得非齊次方程的一個(gè)特解為P*t=，從而原方程的通解為Pt=+A[1-λ(b+d)]t這就是商品的價(jià)格隨時(shí)間t的變化規(guī)律。

參考文獻(xiàn):

[1]吳傳生:經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—微積分 北京 高等教育出版社，2003.6

[2]趙樹(shù)源 微積分:北京 中國(guó)人民大學(xué)出版社1987.12

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