在光學(xué)競賽題中，經(jīng)常涉及到兩塊平面鏡成一定角度放置時(shí)的成像問題。下面就這個(gè)問題由特殊到一般來進(jìn)行探究。

題1 兩平面鏡平行地豎直放置，中間放一物體S，求物體經(jīng)兩平面鏡成像的個(gè)數(shù)并作出在兩平面鏡間看見的最近的四個(gè)像的位置。

解析 由于從S上發(fā)出的光可以在平面鏡間多次反射，故有一次反射成像、二次反射成像，直至n次反射成像。如圖1所示，圖中S1S2分別是S經(jīng)鏡A和鏡B一次反射形成的像，S′1S′2分別是S經(jīng)鏡A和鏡B二次反射形成的像，也就是分別以S1和S2為物點(diǎn)經(jīng)鏡B和鏡A反射后形成的像，以此類推，還有三次、四次……因此，在兩平行的平面鏡間的物體S經(jīng)鏡反射可成無數(shù)個(gè)像。作圖如圖1所示。

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題2 兩塊平面鏡M和N相互垂直放置，一物點(diǎn)S位于兩鏡之間。求S經(jīng)平面鏡能成多少個(gè)像?作出光路圖。

解析 如右圖，S發(fā)出的光射到鏡M上，一次反射成像S1，然后再經(jīng)平面鏡N二次反射成像S3；由于此時(shí)S3位于二塊平面鏡的后面，無法再成像了；同理，S發(fā)出的光射到平面鏡N上一次反射成像S2，然后再經(jīng)平面鏡N二次反射成像S4， 由于此時(shí)S4位于二塊平面鏡的后面，無法再成像；且根據(jù)對稱性，S3與S4重合.故一共只能成3個(gè)像。

題3 兩塊平面鏡成α角放置(α能被180°整除) 一物點(diǎn)S位于兩鏡之間。求S經(jīng)平面鏡能成多少個(gè)像?

解析 要使物體經(jīng)第一個(gè)平面鏡成的像能通過第二個(gè)平面鏡斷續(xù)成像，第一個(gè)像必須在第2個(gè)平面鏡的前面，且第二個(gè)平面鏡必須處在第一個(gè)平面鏡成的像的可見區(qū)域中，使物射向第一個(gè)鏡的光線的反射光線能射向第二個(gè)平面鏡并再次反射成像。

設(shè)兩塊平面鏡成α角，設(shè)∠SON=θ， ∠SOM=β， 則α=β+θ，不妨先考慮S在鏡N中成像后再成像的情況。S在鏡N中的像為S′，由于S′在平面鏡OM前，且OM在的S′可見區(qū)域，所以能經(jīng)平面鏡OM成像S″。由圖中幾何關(guān)系可得， ∠S″ON=∠S″OS′－∠S′ON=2∠S′OM－θ=2(α+θ) －θ=2α+θ。

同理S″還能再經(jīng)鏡面ON成像S，且∠SOM=3α+θ，分析知每經(jīng)過一次反射成像O與像的連線與下一個(gè)成像的鏡面的夾角增加α，如此連續(xù)下去，直至nα+θ≥180°。所以成像個(gè)數(shù)為n=180°-θα。

再考慮S在鏡M中成像后再成像的情況。如前所述，成像個(gè)數(shù)為m=180°-βα。則成像總個(gè)數(shù)為

x=n+m=180°-θα+180°-βα=360°-(θ+β)α=360°-αα=360°α-1。

當(dāng)180°α=k(k=1，2，3，…)時(shí)，經(jīng)OM和ON最后成的像是重合的。