摘要：文章在隨機(jī)截尾模型基礎(chǔ)上建立了一種隨機(jī)截尾的Simmons模型，討論了有限總體下敏感性問(wèn)題的抽樣調(diào)查方法，以及利用這種方法所得出的估計(jì)量，并給出了無(wú)偏與方差估計(jì)量公式。還提出了一種模糊均值算法，更加有效地對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行比較準(zhǔn)確模糊分類。

關(guān)鍵詞：Simmons模型；抽樣調(diào)查；估計(jì)；模糊均值算法

一、隨機(jī)截尾的Simmons模型

（一）背景與目的

被測(cè)試者對(duì)于樣本特征有著較大的敏感性，為使之更好地配合如實(shí)提供特征信息，可以建立一種隨機(jī)截尾的Simmons模型，即在隨機(jī)截尾模型基礎(chǔ)上增加一個(gè)裝置產(chǎn)生服從均勻分布的隨機(jī)變量。正是這一裝置“濾去”了被測(cè)試者的敏感性，從而可以準(zhǔn)確地估計(jì)出特征向量（體重，腰圍）的估計(jì)平均值。

（二）假設(shè)與約定

第一，x=（x1，x2）T為樣本體重與腰圍特征向量。x1＝（x11，x21，…，xn1），Xi1為第i個(gè)女生ai體重?cái)?shù)據(jù)；x2=（x12，x22，…，xn2）T，Xi2為第i個(gè)女生ai腰圍數(shù)據(jù)；X（i）=（xi1，xi2）T為ai的兩特征向量，（i=1，2，…n）。

第二，假設(shè)xi1∈[42，63] [c1，c1+t1]（千克），xi2∈[16，27] [c2，c2+t2]（市寸），（i=1，2，…n）。

第三，假設(shè)樣本x（1 ），x（2），…，X（n）相互獨(dú)立同分布，f（x）=f（x1，x2）為x=（x1，x2）的概率密度，f1（x），f2（x）為相應(yīng)邊際密度，μ＝（μ1，μ2）為x=（x1，x2）的數(shù)學(xué)期望。

第四，在測(cè)試實(shí)驗(yàn)中的兩次抽卡所顯示的數(shù)字Y，Z分別為服從[c1，c1+t1]，[c2，c2+t2]上的均勻分布。

第五，已知樣本容量n=20。

（三）實(shí)驗(yàn)步驟

第一，取3個(gè)空盒。

1號(hào)盒子放入紅、白、黑、綠4種色小球，放入比例為1：1： （0＜p＜1）；2號(hào)放入22張卡片，卡片上標(biāo)有重?cái)?shù)據(jù)42、43、…、63；3號(hào)放入12張卡片標(biāo)上腰圍數(shù)據(jù)16、17、…、27。將3個(gè)盒子分別搖勻。

第二，每位被測(cè)試者有放回地先從1號(hào)盒摸取一小球，并作答：

取到紅、白、黑球分別作答1、0、，取到綠球則轉(zhuǎn)到下一步。

第三，取到綠球者接著一次性從2號(hào)盒抽取兩張卡片再放回?fù)u勻，將該兩張卡片上的數(shù)字Yi1、Zi1與自身的特征數(shù)據(jù)Xi1作比較，并作答：

若Xi1＞max{Yi1，Zi1}，作答1；若min{Yi1，Zi1}≤Xi1≤max{Yi1，Zi1}；作答0；若Xi1＜min{Yi1，Zi1}，作答-1。作答完畢最后從3號(hào)盒一次性抽取兩張卡片再放回?fù)u勻，將該兩張卡片上的數(shù)字Yi2、Zi2與自身的特征數(shù)據(jù)Xi2做比較，并做類似回答。

第四，記被測(cè)試者從1號(hào)盒子摸取小球、從2號(hào)盒子抽取卡片、從3號(hào)盒子抽取卡片時(shí)的作答值分別為βi，αi1，αi2。

對(duì)X1，X2均沿用數(shù)據(jù)βi，則最后得到的數(shù)據(jù)記為γi1，γi2，（i=1，2，…n）。

（四）模型的建立與分析

由上面實(shí)驗(yàn)結(jié)果有：

aij＝1，xij＞max{Yij，Zij}0，min{Yij，Zij}≤Xij≤max{Yi1，Zi1}-1，Xij＜min{Yij，Zij}

βi＝1，紅球0，白球-1，黑球，（i=1，2，…n；j=1，2）

分別求解μ1，μ2的無(wú)偏估計(jì)與方差估計(jì)之表達(dá)式：

第一，μj的無(wú)偏估計(jì)表達(dá)式：（j=1，2）：

本均值為：

γj＝γij①

μj的無(wú)偏估計(jì)：

j＝cj+ ②

第二，通過(guò)γij的方差求得μj的方差估計(jì)表達(dá)式（j＝1，2）：

估計(jì)量μj的方差：Var（μj）＝ + 于是μj的方差估計(jì)為：

Var（ j）= + ③

（五）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與結(jié)果

從上面可以看出，Var（ j）關(guān)于p單調(diào)遞增，綜合考慮取p=0.4，則在1號(hào)盒子中放入30個(gè)小球：白球4，紅球4，黑球4，綠球18。

通過(guò)測(cè)試實(shí)驗(yàn)得到以下樣本數(shù)據(jù)（見(jiàn)表1）：

βi所在列為空白說(shuō)明取球者αi摸取的球?yàn)榫G色。

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)及①、②、③式可求得所要考察的兩特征估計(jì)值。

樣本均值：γ1= ，γ2＝0

無(wú)偏估計(jì)： 1＝54.83 2＝22.00

方差估計(jì)：Var（ 1）＝13.54，Var（ 2）＝4.50

二、基于一種模糊均值算法的識(shí)別分類

所要識(shí)別的為參加測(cè)試男生“偏胖”、“中等”與“偏瘦”。算法給出了各男生所屬類別的模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造出模糊集并進(jìn)行了知識(shí)推理。

記號(hào)：第一，X＝{x1，x2，…，xn}，xk為第k名男生ak體重，k=1，2，…，n；第二，論域A＝{[z1，z2），[z2，z3），[z3，z4]，（z4，z5]}為體重區(qū)間集合z1=48，z2＝53，z3＝58，z4＝63，z5＝69；第三，識(shí)別類集合Ω＝{C1，C2，…，Cm}，m為識(shí)別的模式類個(gè)數(shù)；第四，類中心集合W＝{y1，y2，…，ym}，yi為Ci類中心，i＝1，2，…，m；第五，模糊矩陣，U=[uij]m×n第i行j列元素uij為aj屬于類Ci的隸屬度；第六，m=3，n=20，分別表示模糊集偏胖、中等與偏瘦?，F(xiàn)有測(cè)得樣本數(shù)據(jù)（見(jiàn)表2）：

（一）模糊均值算法

1、算法依據(jù)

構(gòu)造加權(quán)指數(shù)函數(shù)：L（U，W）＝（uik）t|xk-yi｜2，使得L（U，W）取最小。應(yīng)用Lagrange乘子法可得：

定理：L（U，W）局部取最小的充要條件（對(duì)所有的1≤l≤m，1≤k≤n，xk≠yl）：

uij＝

yi=

2、算法步驟

第一，對(duì)數(shù)據(jù)集X={x1，x2，…，xn}，任意給定初始模糊矩陣U（0 ）＝[uij（0 ）]m×n；第二，計(jì)算均值yi（s ）= ，s為疊代次數(shù)（1≤i≤m，s=0，1，2，…）；第三，U（s ）=[uij（s ）]m×n替代為U（s+1 ）＝[uij（s+1 ）]m×nuij（s+1 ）＝ ；第四，任意給定正數(shù)ε（0＜ε＜0.5），若||U （s+1）-U （s） ||{uij（s+1 ）-uij（s ）}＜ε則停止算法，否則令s=s+1返回至第二步驟。

3、算法實(shí)現(xiàn)與分析

第一，算法實(shí)現(xiàn)。

對(duì)表2中的數(shù)據(jù)，事先任意給定初始矩陣：U （0 ）＝[uij（0）]m×n

U （0）=

取t=2，ε＝0.4，算法終止于s=1，有U （1 ）-U （0 ）=0.38＜ε且最終矩陣為：U （1 ）＝[uij （1 ）]m×n為：

U （1）=

第二，結(jié)果分析。

比較U （0 ）與U （1 ）中各元素（隸屬度），第14、16、20列變化較顯著（見(jiàn)表3）：

uij（s ）為aj屬于類Ci的隸屬度（s=0，1；1≤m≤3；1≤j≤20）。

從表3可看出：a16與a20在事先基本上將之分類于c3（偏瘦）或者c2（中等），算法實(shí)現(xiàn)后a16與a20明顯識(shí)別為c3（偏瘦）；對(duì)于a14則識(shí)別結(jié)果不同，由原來(lái)屬于類c2變成現(xiàn)在的c3類。

由表2中可知，a16、a20、a14所對(duì)應(yīng)的x16、x20、x14分別為48.8、48.8、53.8都小于均值58.22（千克），三者應(yīng)該分類為c3（偏瘦），識(shí)別結(jié)果是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

如果將ε＝（0.4）取到更小，則經(jīng)過(guò)這一模糊均值算法，其結(jié)果更為準(zhǔn)確。

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（作者單位：余喜生，西南財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院；余炳紅，江西省鄱陽(yáng)縣四十里街第二中學(xué)）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”