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        “三數(shù)”問題常見錯解剖析

        2008-12-23 08:33:48皇甫軍

        皇甫軍

        平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù),但它們描述的角度和所表達(dá)的意義并不一樣.正因為如此,同學(xué)們在計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的相關(guān)問題時,容易出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤.現(xiàn)結(jié)合實例對常見錯解加以剖析,希望引起同學(xué)們的注意.

        例1在一次數(shù)學(xué)測試中,某班25名男生的平均成績是86分,23名女生的平均成績是82分.求這些學(xué)生的平均成績(結(jié)果精確到0.01分).

        錯解:平均成績?yōu)?=84(分).

        剖析:錯解在求平均數(shù)時,混淆了算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的計算公式.當(dāng)數(shù)據(jù)中有些數(shù)據(jù)是重復(fù)的,要使用加權(quán)平均數(shù)計算公式計算.

        正確解法:平均成績?yōu)?≈84.08(分).

        例2若一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為2,則3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均數(shù)為.

        錯解:數(shù)據(jù)3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均數(shù)仍為2.

        剖析:設(shè)原數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,x的平均數(shù)為.直接代入平均數(shù)公式計算,可知新數(shù)據(jù)mx1+k,mx2+k,mx3+k,…,mx+k的平均數(shù)為m+k.

        正確解法:數(shù)據(jù)3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均數(shù)為3×2-2=4.

        例3 求一組數(shù)據(jù)7,9,5,3,2,4,9,2,7,8的中位數(shù).

        錯解:由于該組數(shù)據(jù)正中間的數(shù)是2,4,所以中位數(shù)為=3.

        剖析:根據(jù)中位數(shù)的定義知,在求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)時,應(yīng)先按大小順序排列數(shù)據(jù).然后觀察數(shù)據(jù)的個數(shù),若數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù),則最中間的就是中位數(shù);若數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù),則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù).錯解錯在沒有將原數(shù)據(jù)按大小順序進(jìn)行排列就進(jìn)行了判斷.

        正確解法:先將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列:2,2,3,4,5,7,7,8,

        9,9.正中間有兩個數(shù),分別是5和7,而它們的平均數(shù)是=6,所以此組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6.

        例4一組數(shù)據(jù)5,7,7,x的中位數(shù)與平均數(shù)相等,求x的值.

        錯解:由于平均數(shù)為,而中位數(shù)為=7,所以=7,解得x=9.

        剖析:錯解的錯誤在于習(xí)慣性地認(rèn)為該組數(shù)據(jù)是從小到大排列的.事實上,x的大小可分三種情況:①x≤5;②57.從而可知本題的中位數(shù)是不確定的,要分類討論.

        正確解法:①當(dāng)x≤5時,中位數(shù)為6,此時=6,解得x=5;

        ②當(dāng)5

        ③當(dāng)x>7時,中位數(shù)為7,此時=7,解得x=9.

        綜上可知,x=5或x=9.

        例5某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)生產(chǎn)部有技術(shù)工人15人.生產(chǎn)部為了合理制定工人的每月生產(chǎn)定額,統(tǒng)計了這15人某月的加工零件個數(shù)(如表1).

        (1)寫出這15人該月加工零件數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

        (2)假如生產(chǎn)部負(fù)責(zé)人把每位工人的月加工零件數(shù)定為260,這個定額是否合理?為什么?

        錯解:(1)計算可知:平均數(shù)為260.中位數(shù)為240.眾數(shù)為240.

        (2)合理. 因為平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)的平均水平的特征數(shù),體現(xiàn)了這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

        剖析:(1)題解答正確.(2)題解得不對,原因在于,每月能完成260件的人一共是4人,還有11人不能達(dá)到此定額.盡管260是平均數(shù),但若將其作為生產(chǎn)定額,不利于調(diào)動多數(shù)工人的積極性.

        若生產(chǎn)部負(fù)責(zé)人把每位工人的月加工零件數(shù)定為240件,比較合理,因為240既是中位數(shù),又是眾數(shù),大多數(shù)人都能完成生產(chǎn)定額,有利于調(diào)動多數(shù)工人的積極性.解略.

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。

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