何榮炎

一、知識要點回顧

1. 二元一次方程組的解法主要有代入消元法、加減消元法.代入消元法，是將其中一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.加減消元法，是通過兩方程相加（減）消去其中一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.

2. 二元一次方程組還可以用“圖象法”去解.圖象法，是把方程組中的兩個方程轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)，作出兩個一次函數(shù)的圖象，求出交點坐標(biāo)，則交點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)就分別是方程組中的x、y的解.

3. 解二元一次方程組應(yīng)用題，實際上就是正確地找出問題中的兩個等量關(guān)系.

4. 二元一次方程（組）與一次函數(shù)之間的關(guān)系：

①一次函數(shù)y=kx+b中的兩個變量x、y看成未知數(shù)，則這個解析式可以看做是一個關(guān)于x、y的二元一次方程，一次函數(shù)圖象上任意一點的坐標(biāo)都是二元一次方程kx+b-y=0的解.②方程組的解與函數(shù)圖象交點的坐標(biāo)等同，可利用圖象法求二元一次方程組的解.

二、典型題解析

例1 二元一次方程組

2x+□y=3， ①□x+y=3 ②中第一個方程 y 的系數(shù)被遮住，第二個方程x的系數(shù)被遮住，但知道x=2，y=1是這個方程組的解.你能求出原來的方程組嗎？

解：設(shè)遮住的y的系數(shù)為m，x的系數(shù)為n.

因為x=2，y=1是方程組的解，所以將x=2，y=1分別代入方程①和方程②，可得2×2+m×1=3，n×2+1=3.解得m=-1,n=1.

所以，原來的方程組為2x-y=3，x+y=3.

評注：求解此類題目可利用方程（組）及其解的定義，把解直接代入，求出方程中的待定系數(shù)的值.

例2 解方程組x+3y=4，①x+y=0. ②

解：由②得x+2y=0，即x=-2y.把x=-2y代入①得y=4.

把y=4代入x=-2y，得x=-8.所以原方程組的解為x=-8，y=4.

評注：解二元一次方程組的基本思想是“消元”，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解.消元時要觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程進(jìn)行變形.本題若從①入手，比較麻煩.

例3 已知x、y是實數(shù)，且+y2-6y+9=0.求xy的值.

解：原方程可化為+（y-3）2=0.

∵≥0，（y-3）2≥0，

∴3x+y=0，y-3=0. 故x=-1，y=3.

∴xy=-3.

評注：幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，則這幾個非負(fù)數(shù)都等于0.

例4 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個，或制盒底43個.一個盒身與兩個盒底配成一套.現(xiàn)有150張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，正好制成都配套的罐頭盒？

解：設(shè)需要x張鐵皮做盒身，y張鐵皮做盒底.

根據(jù)題意得x+y=150，43y=2×16x.

解這個方程組得x=86，y=64.

∴用86張鐵皮做盒身，64張鐵皮做盒底.

評注：列二元一次方程組的步驟和列一元一次方程的步驟大致相同.隨著問題的復(fù)雜性的增加，列二元一次方程組比列一元一次方程解決問題更加直接、簡單.本題也可用一元一次方程解，同學(xué)們不妨試試.

例5 某工廠去年的總產(chǎn)值比總支出多500萬元.今年總產(chǎn)值比去年增加15%，總支出比去年節(jié)約10%，因此今年總產(chǎn)值比總支出多950萬元.今年的總產(chǎn)值和總支出各是多少？

解：設(shè)去年的總產(chǎn)值是x萬元，去年的總支出為y萬元.

根據(jù)題意得x-y=500，（1+15%）x-（1-10%）y=950.

解這個方程組，得x=2 000，y=1 500.

（1+15%）x=2 300，（1-10%）y=1 350.

∴今年的總產(chǎn)值是2 300萬元，總支出是1 350萬元.

評注：當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)列方程比較困難時，可以采用設(shè)間接未知數(shù)的方法.

例6 甲火車長92 m，乙火車長84 m.若相向而行，兩車從相遇到完全離開，時間為1.5 s；若同向而行，兩車從相遇到完全離開，時間為6 s.假設(shè)甲車速度比乙車快，求甲、乙兩車的速度.

解：設(shè)甲車速度為x m/s，乙車速度為y m/s.

根據(jù)題意有1.5（x+y）=92+84，6（x-y）=92+84. 解這個方程組得x=73y=44.，

∴甲、乙兩車的速度分別為73 m/s和44 m/s.

評注：兩車相向而行，屬相遇問題，兩車間距離等于速度和乘以時間；兩車同向而行，屬追及問題，兩車間距離等于速度差乘以時間.

例7 已知直線y=k1x+b1經(jīng)過原點和點（-2，-4），直線y=k2x+b2經(jīng)過點（1，5）和點（8，-2）.

（1）求兩直線的解析式.

（2）若兩直線相交于M點，求M點的坐標(biāo).

（3）若直線y=k2x+b2與x軸交于點N，求△MON的面積.

解：（1）y=2x，y=-x+6.

（2）解方程組y=2x，y=-x+6， 得x=2，y=4.

∴M點坐標(biāo)為（2，4）.

（3）當(dāng)y=0時，得-x+6=0，x=6.

∴N點坐標(biāo)為（6，0）.

∴ON=6.

又知ON邊上的高為點M的縱坐標(biāo)的絕對值，是4，

∴S△MON=×6×4=12.

評注：二元一次方程與一次函數(shù)可以視題目要求互相轉(zhuǎn)換.

三、深刻領(lǐng)會各種數(shù)學(xué)思想

用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組時，我們能體會到“化未知為已知”的化歸思想.

在二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系中，體會到了“數(shù)形結(jié)合”思想的美妙之處，建立了方程與函數(shù)的聯(lián)系.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓.在學(xué)習(xí)知識的同時，深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，才會使我們的學(xué)習(xí)向更高的層次邁進(jìn).注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。