楊大為

一、知識解讀

1. 相似圖形 形狀相同、大小不一定相同的圖形，叫做相似圖形.

2. 相似多邊形 對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形，叫做相似多邊形.

相似多邊形的定義也是判定兩個多邊形相似的重要依據.

3. 成比例線段 對于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即 ＝ （或a∶b＝c∶d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.

4. 相似三角形的定義 對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫相似比，也叫相似系數，通常用字母k表示.全等三角形是相似比為1的特殊的相似三角形.

5. 相似三角形的判定方法 三角形相似的判定方法和三角形全等的判定方法類似，角相等不變，只是將“對應邊相等”改為“對應邊成比例”.

二、考點例析

◆◆考點1：相似形的性質◆◆

例1 （2008年諸暨市）已知A，B，C，D各點的坐標如圖1所示，E是DE和AC延線的交點，若△ABC和△ADE相似，則E點的坐標是 .

解析： 將點的坐標轉化為三角形的邊長，利用相似三角形的性質，容易求得E（4，－3）.

例2 （2008年重慶市）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為2∶3，則S△ABC ∶ S△DEF為（）.

A. 2∶3 B. 4∶9 C.∶D. 3∶2

解析： 直接考查相似三角形最基本的性質，面積比等于相似比的平方.選B.

◆◆考點2：相似形的識別◆◆

例3 （2008年安徽?。┤鐖D2，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，R為DE的中點，BR分別交AC，CD于點P，Q.

（1） 請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1的除外）.

（2） 求BP ∶ PQ ∶ QR.

解析： （1） △BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.

（2） ∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，

∴BC=AD=CE，AC∥DE，所以 = = .

由△PCQ∽△RDQ，DR=RE，可得 = = = .

所以QR=2PQ.BP=PR=PQ＋QR=3PQ.

∴BP ∶ PQ ∶ QR=3∶1∶2.

◆◆考點3：相似形的實際應用◆◆

例4 （2008年陜西?。╆柟饷髅牡囊惶?，數學興趣小組的同學們去測量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達）.他們帶了以下測量工具：皮尺、標桿、一副三角尺、小平面鏡.請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設計一種測量方案.

（1） 所需的測量工具是： .

（2） 請在圖3中畫出測量示意圖.

（3） 設樹AB的高度為x m，請用所測數據（用小寫英文字母表示）求出x.

解析： （1） 皮尺、標桿.

（2） 測量示意圖如圖4.

（3） 如圖4，測得標桿DE ＝ a m，樹的影長AC ＝ b m，標桿的影長EF ＝ c m.

由△DEF∽△BAC，可得 = .

即 = .解得x= （m）.

◆◆考點4：圖形的放大與縮小◆◆

例5 （2008年寧德市）如圖5，在每個小正方形的邊長都為1的網格中，有形如帆船的圖案①和半徑為2的⊙P．

（1） 將圖案①平移，使A點平移到點E，畫出平移后的圖案.

（2） 以點M為位似中心，在網格中將圖案①放大2倍，畫出放大后的圖案，并在放大后的圖案中標出線段AB的對應線段CD.

（3） 在（2）所畫的圖案中，線段CD被⊙P所截得的弦長為 ．（結果可保留根號）

解析： （1） 平移變換是全等變換，只改變位置，不改變大小和形狀.平移后的圖案如圖6.

（2） 位似變換只改變圖形的大小，不改變圖形的形狀.放大后的圖案如圖6所示.

（3） 線段CD被⊙P所截得的弦長為2 .

◆◆考點5：相似形的綜合應用◆◆

例6 （2008年蘇州市）如圖7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12，動點P從D點出發(fā)沿DC以每秒1個單位的速度向終點C運動，動點Q從C點出發(fā)沿CB以每秒2個單位的速度向B點運動．兩點同時出發(fā)，當P點到達C點時，Q點隨之停止運動．

（1） 梯形ABCD的面積等于 .

（2） 當PQ∥AB時，P點離開D點的時間等于 .

（3） 當P，Q，C三點構成直角三角形時，求P點離開D點的時間.

解析： （1） 36. （2） s.

（3） 當P，Q，C三點構成直角三角形時，有兩種情況.

① 如圖8，當PQ⊥BC時，設P點離開D點x s．

作DE⊥BC于E，則PQ∥DE．

∴ = ， = .解得x= （s）.

② 如圖9，當QP⊥CD時，設P點離開D點x s．

顯然△QPC∽△DEC．

∴ = ， = .解得x= （s）.

綜上所述，當P，Q，C三點構成直角三角形時，點P離開D點s或s．

（2008年肇慶市）如圖10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，⊙O經過A，B，D三點，CB的延長線交⊙O于點E.

（1） 求證AE=CE.

（2） EF與⊙O相切于點E，交AC的延長線于點F，若CD=CF=2 cm，求⊙O的直徑.

（3） 若 =n（n>0），求sin∠CAB.

答案或提示：（1） 連接DE，證明DE是AC的垂直平分線． （2） AE=2cm． （3） sin∠CAB= .

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。