楊煉秋

平面解析幾何中求曲線的方程不外乎兩種方法，一是不知曲線類型的用設(shè)動點坐標列含動點坐標的方程，即導跡法，就是設(shè)動點M(x,y)，列出方程f(x,y)=0，這與初中數(shù)學中列方程解應(yīng)用題的設(shè)未知數(shù)列方程一樣.二是已知曲線類型用待定系數(shù)法，即設(shè)方程列方程求方程中的參數(shù)(系數(shù))，一般來說，待定系數(shù)法比導跡法簡單，但必須先判斷出曲線類型，這就必須熟悉平面幾何，特別是平面幾何中直線與圓的知識，在高考試題中直線與圓一般是不設(shè)解答題的，只設(shè)選擇和填空題，考查重要的數(shù)學思想方法——數(shù)形結(jié)合法中的“以形代數(shù)法”，即幾何法.

例1 已知平面上兩定點A(-2，0)，B(1，0)，動點M滿足|MA|=2|MB|.求動點M的軌跡方程.

這是一個需設(shè)動點M(x,y)列方程(導跡)的題，但若熟悉平面幾何中三角形內(nèi)、外角平分線和中線性質(zhì)，則可化為待定系數(shù)法的題求解.

解法1：如圖1延長MB到D使MB=BD,延長OB到E，使OB=BE,連OD，OM，ME，則由

已知有OM平分∠AMB，∴∠A=∠D=∠BME,∠MOE=∠OME,∴OE=ME=2,∴點M的軌跡是E(2，0)為圓心，半徑為2的圓，方程為(x-2)2+y2=22.

解法2：如圖2，連OM，過M作△MAB的外角平分線交AB延長線于點E，則由已知

有OM平分∠AMB，由三角形內(nèi)、外角平分線性質(zhì)得AMMB=AOOB=AEEB=2,∴E(4，0)，△OME是直角三角形，∴動點M的軌跡是以O(shè)E為直徑的圓，方程為(x-2)2+y2=22.

例1可推廣為一般情形，例1的解法2可推廣為一個很有價值的解法.

如已知平面上兩定點A，B的距離為a(a>0)，平面上一動點M滿足MAMB=λ.求動點M的軌跡方程.

由例1的解法2知，如圖3，過點M分別作△MAB的內(nèi)、外角平分線MD，ME，分別交AB于點D，E，則動點M的軌跡就是以線段DE為直徑的圓，∵AMMB=ADDB=AEEB=λ，且AB=a，∴建立坐標系后可確定D，E的坐標，∴動點M的軌跡方程可用待定系數(shù)法求出.

例2 已知點P(1，2)為圓x2+y2=9內(nèi)一定點，過P作兩條互相垂直的任意射線交圓于點B，C，求BC中點M的軌跡方程.

分析：因為不知道軌跡是什么，所以要用導跡法，即設(shè)M(x,y)，列方程f(x,y)=0，這樣求解較繁.如設(shè)M(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2)，可得方程組x1+x2=2x，

y1+y2=2y，

x21+y21=9，

x22+y22=9，

y1-2x1-1·y2-2x2-1=-1，則要消去x1,y1,x2,y2，若沒找到好的消元途徑(把x1x2,y1y2,x1+x2,y1+y2視為元消去)就很難得出軌跡方程，當然如果設(shè)一條弦的斜率為k，列出方程組x=f(k)，

y=g(k)，再消去k，更繁，就是用圓的參數(shù)方程也不是很簡單，即M(x,y),B(3cosα,3sinα),C(3cosβ,3sinβ)得方程組3(cosα+cosβ)=2x,

3(sinα+sinβ)=2y,

3sinα-23cosα-1·3sinβ-23cosβ-1=-1，消去cosα,cosβ,sinα,sinβ，其運算過程也不簡單.

因此，應(yīng)尋求幾何法和待定系數(shù)法.

解法1：如圖4，連OM，MP，則由已知MP=BM=MC,OB2=OM2+BM2,

∴OB2=OM2+MP2,即OM2+MP2=9，∴要求軌跡是到兩定點O(0，0)，P(1，2)的距離平方和為常數(shù)9的軌跡，這樣就可直接列出方程x2+y2+(x-1)2+(y-2)2=9,即(x-12)2+(y-1)2=134.

解法2：由解法1知，OM2+MP2=9，OP的中點D(12，1)，由三角形的中線長公式得MD2=OM2+MP22-OP24=92-54=134(定值)，所以，要求軌跡是以D(12，1)為圓心，半徑為132的圓，由待定系數(shù)法得方程(x-12)2+(y-1)2=134.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文