王　菁

近年來(lái)信息遷移題一直是數(shù)學(xué)高考與競(jìng)賽中考查學(xué)生能力的主要題型之一，它有利于考查學(xué)生即時(shí)自學(xué)、捕捉信息、信息加工和合理遷移的能力，也有利于考查學(xué)生靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力.在解決此類(lèi)題型時(shí)，務(wù)必做到四要：一要仔細(xì)審題，捕捉信息，特別是關(guān)鍵信息，為解決問(wèn)題找到突破口；二要對(duì)呈現(xiàn)的大量信息進(jìn)行簡(jiǎn)約、篩選，從中提取有價(jià)值的重要信息；三要從題中給予的信息中通過(guò)概括、整理、提煉，尋覓出新知識(shí)或新方法；四要充分發(fā)揮聯(lián)想，廣泛建立聯(lián)系，由此及彼，由表及里，或類(lèi)推、或拓展，善于知識(shí)遷移.筆者進(jìn)而研究認(rèn)為，根據(jù)信息遷移題的特點(diǎn)，信息遷移題可歸納為簡(jiǎn)約、類(lèi)比、擴(kuò)展、轉(zhuǎn)換及綜合等幾種信息加工模式.其解題步驟可概括為如下框圖.

1.簡(jiǎn)約模式

信息遷移題中的信息往往比較密集，此時(shí)解題時(shí)應(yīng)將無(wú)關(guān)的和干擾的信息剝?nèi)ィ龅絼h繁就簡(jiǎn)，使冗長(zhǎng)的陳述簡(jiǎn)明化，讓問(wèn)題的已知條件、待求的結(jié)論明顯化.

例1 (06年北京高考題(理))如圖1為某

三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口A、B、C的機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)如圖所示，圖中x1,x2,x3分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段AB，BC，CA的機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)(

假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車(chē)輛數(shù)相等)，則().

A.x1>x2>x3 B.x1>x3>x2

C.x2>x3>x1 D.x3>x2>x1

分析：本題應(yīng)遴選出“駛?cè)肱c駛出車(chē)輛相等”這一關(guān)鍵條件，分別設(shè)A、B、C三處未知車(chē)輛數(shù)為m、n、k，則x1=20+n=50+m,

x2=30+n=35+k,

x3=55+m=30+k,可得m=k-25，代入得x1=25+k,

x2=35+k,

x3=30+k,其中m、n、k∈N*，故選C.

評(píng)注：解答這種題型時(shí)考生的思維障礙往往在于對(duì)建立在實(shí)際生活之上的問(wèn)題載體的理解.而這種來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活的背景新穎的創(chuàng)新題往往在敘述時(shí)比較冗長(zhǎng)，要求考生有較好的閱讀理解能力與辨別、抓住核心信息并進(jìn)行推理變形的能力，由此達(dá)到化繁雜為簡(jiǎn)易的目的.

2.類(lèi)比模式

類(lèi)比推理是人的抽象邏輯思維的一種主要形式.從形式邏輯的角度來(lái)看，類(lèi)比推理就是根據(jù)兩個(gè)(或兩類(lèi))對(duì)象在某些屬性上相同或相似，而且已知其中的一個(gè)(或一類(lèi))對(duì)象還具有其他

特定屬性，從而推出另一個(gè)(或另一類(lèi))對(duì)象也具有該特定屬性為結(jié)論的推理.運(yùn)用這種推理來(lái)解決問(wèn)題的模式即為類(lèi)比模式.它的邏輯形式可以表示為：對(duì)象A具有屬性a、b、c、d；對(duì)象B具有屬性a、b、c，所以對(duì)象B也具有屬性d.

例2 (05年上海高考題)用n個(gè)不同的實(shí)數(shù)a1,a2,…，an，可得到n!個(gè)不同的排列，以每個(gè)排列為一行寫(xiě)成一個(gè)n!行的數(shù)陣，對(duì)第i行ai1,ai2…，ain，記bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3…，n!.例如用1，2，3可得到如下數(shù)陣(如圖2所示)：

由于數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以b1+b2+…+b6=-12+2×12-3×12=-24,那

么在用1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，b1+b2+…+b120= .

分析：由1，2，3三個(gè)數(shù)組成的數(shù)陣的計(jì)算，我們可以知道數(shù)陣每一列之和是相等的，設(shè)這個(gè)和數(shù)為S.因?yàn)槊恳粋€(gè)數(shù)在數(shù)陣中某一列出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，所以每一個(gè)數(shù)在一列出現(xiàn)的次數(shù)為n!n=(n-1)!，故S=(n-1)!(a1+a2+…+an),而

且b1+b2+…+bn!=-S-2S-3S+…+(-1)n·n·S.

由1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，b1+b2+…+b120=-360+2×360-3×360+4×360-5×360=-1080.

評(píng)注：類(lèi)比模式有數(shù)形之間的類(lèi)比、平面與空間之間的類(lèi)比、具體與抽象之間的類(lèi)比、特殊與一般之間的類(lèi)比等等，而解決問(wèn)題A，由某種相似性聯(lián)想到已解決的問(wèn)題B，而問(wèn)題B的解決方法對(duì)解決問(wèn)題A有啟發(fā)，這就是解題思想方法的類(lèi)比遷移.

3.擴(kuò)展模式

問(wèn)題的難易不在于題中陳述信息的多少，即閱讀量的大小，而在于內(nèi)涵的深淺和思路的曲直.有些題目陳述指向目標(biāo)的特征信息“凝聚”在個(gè)別詞句中，有的是意在不言中，極為隱蔽的，這就需要我們結(jié)合具體問(wèn)題細(xì)細(xì)推敲、逐句發(fā)掘有用信息，從多角度思考分析，力求做到上下兼顧，前后呼應(yīng)，逐級(jí)引申，多向擴(kuò)展，反復(fù)論證，直到問(wèn)題的解決.

例3 (06年上海高考題)三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在［1，12］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”.

丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”.

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是 .

分析：采用乙的思路.∵x∈［1，12］，∴原題等價(jià)于x+25x+|x2-5x|≥a在［1，12］上恒成立，下面求函數(shù)y=x+25x+|x2-5x|的最小值.

∵x+25x≥10(當(dāng)且僅當(dāng)x=5∈［1，12］時(shí)，取最小值10，而此時(shí)|x2-

5x|=0)，

∴當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)y=x+25x+|x2-5x|的最小值為10.從而原題所求a的取值范圍是(-∞，10］.

評(píng)注：本題在傳統(tǒng)題型的基礎(chǔ)上糅合了三種可能的解題思路.既考查了明辨

是非的能力，也考查了分析問(wèn)題時(shí)思路的靈活性和深刻性.筆者認(rèn)為為什么不采用另外兩條思路的原因在于：就甲說(shuō)的而言，能否在取同一值時(shí)取得最值值得討論；就丙說(shuō)的而言，要準(zhǔn)確無(wú)誤作出函數(shù)y=x2+25+|x3-5x2|的圖像比較困難；只有乙說(shuō)的是常規(guī)思路，但如果觀察不出x+25x與|x2-5x|在同一處取得最小值這一隱含的細(xì)節(jié)，求解過(guò)程也會(huì)很復(fù)雜.

4.轉(zhuǎn)換模式

數(shù)學(xué)現(xiàn)象豐富多彩，千變?nèi)f化，許多截然不同的問(wèn)題有時(shí)可用相同的形式表述，同一問(wèn)題也可以用不同的形式體現(xiàn).當(dāng)你面臨陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題概念模糊或自己不易把握時(shí)，可嘗試用自己熟悉的方式去描述，多次嘗試，不斷調(diào)整方向和層次，直到問(wèn)題清晰明白為止.通過(guò)轉(zhuǎn)換，可將一個(gè)陌生的問(wèn)題變成一個(gè)熟悉的問(wèn)題，一個(gè)未知量轉(zhuǎn)換為較易認(rèn)識(shí)的另一個(gè)變量，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)典型的數(shù)學(xué)模型.

例4 (06年湖北高考題(理))將楊輝三角中的每一個(gè)組合數(shù)Crn都換成1(n+1)Crn，就得到一個(gè)如下圖3所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，1(n+1)Crn+1(n+1)Cxn=1nCrn-1,其中x= .令an=13+112+130+160+…+1nC2n-1+1(n+1)C2n，則

分析：由上圖聯(lián)想熟悉的楊輝三角問(wèn)題，通過(guò)對(duì)比可發(fā)現(xiàn)在萊布尼茨三角形中，每個(gè)數(shù)都等于它腳下兩數(shù)字之和，則x=r+1.而1(n+1)C2n=2(n+1)·n·(n-1)=1n-1-2n+1n+1,∴an=13C22+14C23+15C24+…+1(n+1)C2n=(1-22+13)+(12-23+14)+(13-24+15)+…+(1n-1-2n+1n+1)=1-12-1n+1n+1.故limx→∞an=12.

評(píng)注：解答這種題型時(shí)考生的思維障礙往往在于類(lèi)比推理和轉(zhuǎn)換能力不強(qiáng)，導(dǎo)致解題過(guò)程中無(wú)從著手或發(fā)生錯(cuò)誤.另外，我們還可以看出它主要考查考生的知識(shí)遷移能

力、化簡(jiǎn)變形能力和觀察問(wèn)題分析問(wèn)題的能力.并且往往要求從表中、圖中或條件中看出其

中的規(guī)律，通過(guò)轉(zhuǎn)換后再進(jìn)行求解.

5.綜合模式

對(duì)于那些信息容量大，題面錯(cuò)綜復(fù)雜的“謎語(yǔ)”題，則要求學(xué)生綜合運(yùn)用科學(xué)方法(提取有效信息、聯(lián)系已學(xué)知識(shí)、構(gòu)建思維模型等)，對(duì)題目信息進(jìn)行深加工，去粗取精，去偽存真

，創(chuàng)造性地揭開(kāi)謎底.

例5 (06年北京高考題(理))在數(shù)列{an}中，若a1,a2是正整數(shù)，且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…，則稱(chēng){an}為“絕對(duì)差數(shù)列”.

(1)舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”(只要求寫(xiě)出前十項(xiàng))；

(2)若“絕對(duì)差數(shù)列”{an}中，a20=3,a21=0,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3…，分別判斷當(dāng)n→∞時(shí)，an與bn的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

(3)證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).

分析：(1)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.(答案不惟一)

(2)結(jié)合(1)分析數(shù)列{an}的周期性規(guī)律可知，當(dāng)n→∞時(shí)，an的極限不存在.當(dāng)n≥20時(shí)，bn=an+an+1+an+2=6,所以lim→∞bn=6.

(3)根據(jù)定義，數(shù)列{an}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下：

假設(shè){an}中沒(méi)有零項(xiàng)，由于an=|an-1-an-2|，所以對(duì)于任意的n，都有an≥1，從而當(dāng)an-1>an-2時(shí)，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3)；當(dāng)an-1

令cn=a2n-1(a2n-1>a2n),

a2n(a2n-1

由于c1是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng)cn<0，這與cn>0(n=1,2,3，…)矛盾.從而{an}必有零項(xiàng).若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記an-1=A(A≠0)，則自第n項(xiàng)開(kāi)始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值0，A，A，即an+3k=0,

an+3k+1=A,

an+3k+2=A,k=0,1,2,3…，所以絕對(duì)差數(shù)列{an}中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).

評(píng)注：解答這一題型時(shí)，考生的思維障礙往往在于閱讀能力的欠缺以及轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程中發(fā)生差錯(cuò).但這種題型往往新穎別致，別具匠心，重點(diǎn)考查了學(xué)生的數(shù)

學(xué)閱讀理解能力與綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，具有較強(qiáng)的考查效果.

信息遷移題具有極強(qiáng)的生命力，它能很好地考查學(xué)生的綜合實(shí)力，并具有較大的區(qū)分度，因而常考常新.解答時(shí)要求學(xué)生必須具備扎實(shí)的基本功，具有良好的心理素質(zhì)和科學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法，才能掌握信息遷移題的內(nèi)涵與精髓，并能在解題中有所創(chuàng)新.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文