李艷梅

勾股定理是幾何中一個應(yīng)用廣泛的定理.不少同學(xué)在學(xué)習(xí)勾股定理時,由于馬虎,在做題時總出現(xiàn)這樣那樣的錯誤.現(xiàn)就同學(xué)們常見的錯誤剖析如下.

一?受“勾三股四弦五”的影響,忽視分情況討論

例1 一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,求第三邊長的平方.

錯解: 因為兩邊長分別為3和4,所以由“勾三股四弦五”可知,第三邊的長為5,所以第三邊長的平方為25.

剖析: 題目中并沒有指出3和4是直角三角形的兩條直角邊的長.造成錯誤的原因是思維定勢,受“勾三股四弦五”的影響而忽視了分情況討論.

正解:應(yīng)分兩種情況:

(1)若已知的兩邊長是直角邊長,則第三邊是斜邊.

根據(jù)勾股定理,得斜邊長為= 5,所以第三邊長的平方為25.

(2)若已知的兩邊長是一條直角邊長和斜邊長,則較大的是斜邊長.第三邊是另一條直角邊.

根據(jù)勾股定理,得另一直角邊長為=,所以第三邊長的平方為7.

綜上,第三邊長的平方為25或7.

二?忽視勾股定理的應(yīng)用條件

例2如圖1,△ABC中,AB = 10,BC = 12, BC邊上的中線AD = 8.求證:AB = AC.

錯解: 因AD為中線,所以CD =BC = 6.又AD = 8,所以在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC = = = 10.而AB = 10,所以AB = AC.

剖析: 由于受結(jié)論及題圖的影響,加上AD為中線的條件,很多同學(xué)不進(jìn)行推證,便直接認(rèn)為△ACD為直角三角形,從而導(dǎo)致了錯誤.

正解:因為AD為中線,故BD = CD =BC = 6.又AB = 10,AD = 8,并且62 + 82 = 102,即BD2 + AD2 = AB2,所以△ABD為直角三角形,即AD⊥BC.所以在Rt△ACD中,由勾股定理,可求得AC = 10.所以AB = AC.

三?忽視勾股定理表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點

例3 在△ABC中,∠A = 90°,∠A?∠B?∠C所對的邊長分別為a?b?c,a =13,b = 5.求c.

錯解: 由勾股定理,得a2 + b2 = c2,所以c = =.

剖析: 錯解的原因在于忽視了勾股定理的本質(zhì)特點,只注意到了表面形式.當(dāng)∠C = 90°時,勾股定理的表達(dá)式為a2 + b2 = c2.而當(dāng)∠A = 90°時,勾股定理的表達(dá)式應(yīng)為b2 + c2 = a2.

正解:因為在△ABC中,∠A = 90°,所以由勾股定理,得b2 + c2 = a2.

所以c = = = = 12.

四?忽視對圖形的討論

例4 已知△ABC中,AB = 20,AC = 15,BC邊上的高AD = 12,求△ABC的面積.

錯解: 如圖2,在Rt△ABD中,BD === 16.在Rt△ACD中,CD = == 9.所以BC = 16 + 9 = 25.

所以S△ABC = × BC × AD =× 25 × 12 = 150.

剖析: 錯解中只考慮了三角形的高在三角形內(nèi)部的情況,實際上,高還有可能在三角形外.

正解: 當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時,如上解,BC =BD + CD = 25.

S△ABC = × BC × AD = × 25 × 12 = 150.

當(dāng)AD在△ABC外部時,如圖3,由勾股定理可求出BD = 16,CD = 9.故BC = BD - CD = 7.

S△ABC = × BC × AD = × 7 × 12 = 42.

所以△ABC的面積為150或42.L

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文