劉志鳳

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能直觀地反映數(shù)學(xué)問(wèn)題中“數(shù)”與 “形”之間的內(nèi)在聯(lián)系.數(shù)形結(jié)合的思想方法，是解決問(wèn)題的主要手段之一.一次函數(shù)是常見函數(shù)類型中的一種，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)的基礎(chǔ).其知識(shí)要點(diǎn)如下表.

1. （2008年·成都）某農(nóng)場(chǎng)租用播種機(jī)播種小麥.在甲播種機(jī)播種2天后，又調(diào)來(lái)乙播種機(jī)參與播種，直至完成800畝（注：一種面積單位）的播種任務(wù).播種畝數(shù)y與天數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.那么乙播種機(jī)參與播種的天數(shù)是____.

2. （2008年·山東）如圖2，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC、CD、DA運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y.如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖3所示，則△ABC的面積是（）.

A． 10B． 16C． 18D． 20

3. （2007年·吉林）今年4月18日，我國(guó)鐵路第六次大提速.在甲、乙兩城市之間開通了動(dòng)車組高速列車．已知每隔1 h有一列動(dòng)車組列車從甲城開往乙城．它們的速度相同.如圖4所示，OA是第一列動(dòng)車組列車與甲城的距離s（單位：km）和運(yùn)行時(shí)間t（單位：h）的函數(shù)圖象，BC是一列從乙城開往甲城的普通快車與甲城的距離s（單位：km）和時(shí)間t（單位：h）的函數(shù)圖象．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題.

（1）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)0.5的意義是普通快車發(fā)車時(shí)間比第一列動(dòng)車組列車發(fā)車時(shí)間____h，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)300的意義是____．

（2）請(qǐng)你在原圖中直接畫出第二列動(dòng)車組列車與甲城的距離s（單位：km）和時(shí)間t（單位：h）的函數(shù)圖象．

（3）若普通快車的速度為100 km/h，①求BC的解析式，并寫出自變量t的取值范圍；②求第二列動(dòng)車組列車出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間與普通快車相遇；③直接寫出這列普通快車在行駛途中與迎面而來(lái)的相鄰兩列動(dòng)車組列車相遇的時(shí)間間隔．

答案與點(diǎn)撥： 1. 4（提示：由（2，200），（3，350）可得函數(shù)解析式，再把y=800代入）2. A 3. （1）晚0.5甲、乙兩城相距300 km（2）圖象略.（3）①易知普通快車運(yùn)行時(shí)間為3 h.故C（3.5，0），s=-100t+350，自變量t的取值范圍是0.5≤t≤3.5； ②1 h；③ h.

解此類題的關(guān)鍵是正確解讀圖象信息，弄清兩坐標(biāo)軸所表示的變量的實(shí)際含義，準(zhǔn)確理解每段函數(shù)圖象所表示的實(shí)際狀態(tài).第1題中第一段折線表示的是甲播種機(jī)2天播種200畝，第二段折線的“200~350”中的150畝，表示由甲、乙兩機(jī)共同播種1天.第2題中，平行于x軸的一段圖象表示的是△ABP的面積y在4≤x≤9時(shí)始終不變，為定值，于是可得出CD=5.第3題應(yīng)注意，各列動(dòng)車組列車的函數(shù)圖象都與OA平行，相鄰圖象與t軸的交點(diǎn)相隔為1.

4. （2007年·福州）已知一次函數(shù)y=（a-1）x+b的圖象如圖5所示，那么a的取值范圍是（）.

A． a>1B． a<1C． a>0D． a<0

5. （2008年·哈爾濱）小亮從家去學(xué)校所走的路程為900 m.某天他從家去上學(xué)時(shí)，以每分鐘30 m的速度行走了450 m.為了不遲到他加快了速度，以每分鐘45 m的速度走完剩下的路程.那么小亮行走的路程y（單位：m）與他行走的時(shí)間t（單位：min）之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示應(yīng)是（）．

答案與點(diǎn)撥： 4. A5. D

解答此類問(wèn)題需要熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì).第4題自變量x 的系數(shù)a-1>0，勿因思維定式得出a>0.第5題應(yīng)根據(jù)小亮在后面的路程中加快了速度而得出后段圖象比前段圖象“上升”得要快些，從而快速得到答案.

（一）根據(jù)圖象提供的信息，求函數(shù)解析式.

6. （2008年·南昌）在平面直角坐標(biāo)系中，有A（0，1），B（-1，0），C（1，0）．

（1）若點(diǎn)D與這三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求直線BD的解析式．

7. （2008年·廣安）汶川地震發(fā)生后，廣安先后有兩批自愿者分別乘客車和出租車沿相同路線從廣安趕往重災(zāi)區(qū)平武救援.圖6表示其行駛過(guò)程中行駛的路程s（單位：km）隨時(shí)間t（單位：h）變化的圖象．

（1）根據(jù)圖象，分別寫出客車和出租車行駛過(guò)程中s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量的取值范圍）；（2）客車和出租車行駛的速度分別是多少？

答案與點(diǎn)撥： 6. （1）符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D1（2，1），D2（-2，1），D3（0，-1）；（2）略.7. （1）客車s=40t，出租車s=100t-200；（2）客車40 km/h，出租車100 km/h.

解答此類問(wèn)題，要根據(jù)已有圖象確定直線上兩個(gè)或一個(gè)（若為正比例函數(shù)）點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式.第6題中應(yīng)注意多種情況的討論.第7題則要注意速度與x的系數(shù)的關(guān)系.

（二）根據(jù)幾何圖形提供的信息，求函數(shù)解析式.

8. （2008年·長(zhǎng)沙）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）從點(diǎn)M（1，0）出發(fā)，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四點(diǎn)連成的正方形（如圖7①）的邊線按一定方向運(yùn)動(dòng).圖7②是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)圖象，圖7③是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分.

（1）s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：____.

（2）與圖7③相對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是：____.

（3）寫出當(dāng)3≤s≤8時(shí)，y與s之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖7③中補(bǔ)畫函數(shù)圖象.

9. （2008年·武漢）（1）點(diǎn)（0，1）向下平移2個(gè)單位后的坐標(biāo)是____，直線y=2x+1向下平移2個(gè)單位后的解析式是____.

（2）直線y=2x+1向右平移2個(gè)單位后的解析式是____.

答案與點(diǎn)撥： 8. （1）s= t（t≥0）（2）M→D→A→N（3）當(dāng)3≤s<5，即P從A到B時(shí)，y=4-s；當(dāng)5≤s<7，即P從B到C時(shí)，y=-1； 當(dāng)7≤s≤8，即P從C到M時(shí)，y=s-8．圖象略．9. （1）（0，-1）y=2x-1（2）y=2x-3

解答此類題的關(guān)鍵，是在熟練掌握?qǐng)D形的幾何性質(zhì)與函數(shù)圖象性質(zhì)的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)動(dòng)與靜的相互轉(zhuǎn)化，在圖形的運(yùn)動(dòng)變化中尋求關(guān)鍵點(diǎn)與不變量（常量）.第8題應(yīng)注意動(dòng)點(diǎn)P的幾個(gè)關(guān)鍵位置，從而正確地進(jìn)行分類討論.第9題應(yīng)把握?qǐng)D形平移的性質(zhì)：（1）直線沿某方向平移幾個(gè)單位，則直線上的任一點(diǎn)均沿該方向平移幾個(gè)單位；（2）平移過(guò)程中直線解析式中一次項(xiàng)的系數(shù)不變.

10. （2008年·烏魯木齊）一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象如圖8所示，則關(guān)于x的不等式kx+b>0的解集是（）.

A. x<-2 B. x>-2 C. x>2 D. x<2

11. （2008年·武漢）如果直線y=kx+b經(jīng)過(guò)A（-2，-1）和B（-3，0）兩點(diǎn)，則不等式 x

答案與點(diǎn)撥： 10. B11. -3

準(zhǔn)確理解一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系（見本文開頭知識(shí)列表），則此類問(wèn)題可迎刃而解.將一次函數(shù)與不等式或方程問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法.第11題既可以由待定系數(shù)法求出k、b，再解不等式，也可根據(jù)圖象求解.

12. （2008年·烏魯木齊）某公司在A、B兩地分別庫(kù)存挖掘機(jī)16臺(tái)和12臺(tái)，現(xiàn)在運(yùn)往甲、乙兩地支援建設(shè)，其中甲地需要15臺(tái)，乙地需要13臺(tái)．從A地運(yùn)一臺(tái)到甲、乙兩地的費(fèi)用分別是500元和400元；從B地運(yùn)一臺(tái)到甲、乙兩地的費(fèi)用分別是300元和600元．設(shè)從A地運(yùn)往甲地x臺(tái)挖掘機(jī)，運(yùn)這批挖掘機(jī)的總費(fèi)用為y元．

（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，并寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）公司應(yīng)設(shè)計(jì)怎樣的方案，才能使運(yùn)這批挖掘機(jī)的總費(fèi)用最少？

答案與點(diǎn)撥： 12. （1）填表略.y=400x+9 100.（2）因x-3≥0且15-x≥0，故3≤x≤15，又y隨x的增大而增大，故當(dāng)x=3時(shí)，運(yùn)這批挖掘機(jī)的總費(fèi)用最少，運(yùn)送方案是：A地的挖掘機(jī)運(yùn)往甲地3臺(tái)，運(yùn)往乙地13臺(tái)；B地的挖掘機(jī)全部運(yùn)往甲地.

解此類問(wèn)題的步驟是：（1）根據(jù)問(wèn)題中提供的各個(gè)量之間的關(guān)系，建立函數(shù)模型；（2）在實(shí)際意義下，全面考慮各個(gè)變量的范圍；（3）借助函數(shù)性質(zhì)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，計(jì)算出結(jié)果或借助計(jì)算結(jié)果進(jìn)行最優(yōu)方案設(shè)計(jì).注意，正確確定變量范圍是解題關(guān)鍵，否則容易錯(cuò)解或漏解.

在中考中，除了上述常見題型外，一次函數(shù)和后面要學(xué)到的反比例函數(shù)、二次函數(shù)相結(jié)合的綜合題也較常見.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文