孟 坤
線段和角是初中數(shù)學(xué)所研究的兩類最基本的圖形,它們有一些類似的屬性. 研究有關(guān)角的問題,可類比線段問題的研究方法. 我們知道,無論比較線段的長短,還是比較角的大小,都有估測、度量和疊合等方法.那么,在實(shí)際問題中,怎樣根據(jù)需要來選擇合適的方法呢?
一、估測法
在比較幾條線段的長短時(shí),如果各條線段的長短差別較明顯,而又不需要知道相差多少,或度量、疊合有困難時(shí),可用估測法.
例如學(xué)校四周圍墻高低不一,如果想確定哪一面墻較高,用目測就夠了;如果想知道校園中央的旗桿距前、后教學(xué)樓哪一段距離更長一些,可以用步量;如果要比較的兩條線段不太長,還可用張開大拇指和中指來量長度,這些都屬于估測法.
類比線段的大小比較,我們可以用估測法比較角的大小. 用此方法比較角的大小較為直觀,但不夠準(zhǔn)確,適用于角度差別大或者對角度要求不高時(shí)的角的大小比較. 例如比較畫在紙上的兩個(gè)角的大小,如果大小相差明顯,用估測法就可判斷出誰大誰小.
二、度量法
如果要比較的線段長短差別不太明顯,而又不便于放在一起比較,或者想知道相差多少,可以用度量法. 通過度量線段的長度,由長度的大小可得到線段的大小.
類比線段的大小比較,我們可以用量角器量得角的度數(shù),再根據(jù)角的度數(shù)來比較角的大小.
例1 如圖1,△ABC的三邊可表示成線段AB、線段AC和線段BC.
(1)先測量三邊的長度,再在下面橫線上填入“>”、“<”或“ = ”.
① AB + AC ____ BC;② AB + BC ____ AC;③ AC + BC ____ AB.
(2)你能得到什么結(jié)論?
分析:(1)通過測量,容易得到大小關(guān)系;(2)以①為例,AB + AC可看做AB與AC是連接B與C兩個(gè)端點(diǎn)的一條折線,而BC是連接B、C兩個(gè)端點(diǎn)的一條線段. 故可得到結(jié)論“兩點(diǎn)之間線段最短”.
解:(1)均填“>”;
(2)結(jié)論是“兩點(diǎn)之間線段最短”(或“三角形任意兩邊之和大于第三邊”).
本題得到的結(jié)論不唯一,這是一個(gè)開放型問題.
例2 根據(jù)圖2求解下列問題.
(1)借助三角尺,比較∠EOD和∠COD的大??;
(2)用量角器度量,比較∠BOC和∠COD的大小.
分析:(1)我們選擇三角尺的一個(gè)角來估算這兩個(gè)角大約的度數(shù),就可以達(dá)到比較的目的;(2)通過度量也容易得出結(jié)論.
解:(1)用三角尺中30°的角分別與∠EOD和∠COD比較,可以發(fā)現(xiàn)∠EOD<30°,∠COD>30°,所以∠EOD<∠COD;
(2)通過度量可知:∠BOC = 50°,∠COD=40°,所以∠BOC>∠COD.
當(dāng)借助三角尺比較兩個(gè)角的大小時(shí),我們選擇的三角尺的“角”要適當(dāng);當(dāng)兩個(gè)角的大小非常接近時(shí),我們可以借助量角器來比較這兩個(gè)角的大小.
三、疊合法
如果要比較的線段長短無需知道相差數(shù)據(jù),而放在一起又比較方便,即可用疊合法比較其大小. 例如比較線段AB、CD的長短,可先畫一條直線,在上先作出線段AB,再作出線段CD,并使點(diǎn)A和點(diǎn)C重合,點(diǎn)B與D位于點(diǎn)A的同側(cè).
① 如果點(diǎn)D和點(diǎn)B重合,則線段AB與線段CD相等,記作AB = CD,如圖3(1);
② 如果點(diǎn)D在線段AB內(nèi)部,則線段AB大于線段CD,記作AB>CD,如圖3(2);
③ 如果點(diǎn)D在線段AB外部,則線段AB小于線段CD,記作AB<CD,如圖3(3).
再如兩個(gè)人比高低,只要在平地上背靠背站在一起,旁邊的人就可觀察出來. 要比較幾根鉛筆的長短,只要握在手里并將一頭對齊,看另一頭就行了.
類比線段的大小比較,我們可用疊合法比較角的大小. 例如比較∠ABC與∠DEF的大小,可先讓頂點(diǎn)B、E重合,再讓邊BA和ED重合,使另一邊EF和BC落在BA(ED)的同側(cè).
① 若EF和BC也重合,那么∠DEF等于∠ABC,記作∠DEF = ∠ABC,如圖4(1);
② 若EF落在∠ABC的外部,那么∠DEF大于∠ABC,記作∠DEF>∠ABC,如圖4(2);
③ 若EF落在∠ABC的內(nèi)部,那么∠DEF小于∠ABC,記作∠DEF<∠ABC,如圖4(3).
例4圖5是一張三角形紙片,你能準(zhǔn)確比較出線段AB與線段AC的長短嗎?試說明你的方法,并用你的方法確定AB的中點(diǎn)D.
解法1:用刻度尺直接度量三角形三條邊,就可以比較出三條邊的長短,并能確定AB的中點(diǎn)D.
解法2:把邊AB折疊到AC上,易得B點(diǎn)在線段AC上,所以AC>AB.讓點(diǎn)A、B重合,即對折線段AB,則折痕和AB的交點(diǎn)即為線段AB的中點(diǎn)D.
解法2巧妙地運(yùn)用折紙的方法比較了線段的大小及找線段中點(diǎn)問題,簡單且便于操作,是一種創(chuàng)新.
例5已知:線段a、b、c(如圖6).
(1)畫出線段AB,使AB = a + b - c;
(2)畫出線段AB的中點(diǎn).
分析:本題有兩種解題思路,一是先量出線段a、b、c的長度,計(jì)算出a + b - c的大小,再用刻度尺畫出線段AB,使得線段AB的長度恰好為a + b - c的結(jié)果;二是用圓規(guī)和直尺畫圖,下面采用第二種思路求解.
解:(1)畫法如下:
① 畫出射線AE.
② 在射線AE上順次截取AC = a,CD = b.
③ 在線段AD上截取DB = c,且點(diǎn)B在線段AD內(nèi)部,則線段AB就是所要畫的線段.
作圖結(jié)果如圖7.
(2)用刻度尺量出線段AB的長,計(jì)算出 AB的長,從而找到中點(diǎn)的位置M.
解答這類問題的關(guān)鍵是掌握線段的大小比較方法及和差倍分的畫法.
例6如圖8,將一張長方形紙斜折過去,使頂點(diǎn)A落在A′處,BC為折痕,然后把BE折過去,使之與A′B重合,折痕為BD,那么兩折痕BC、BD間的夾角是多少度?
解析:因?yàn)椤螩BA與∠CBA′折疊重合,所以∠CBA = ∠CBA′.同理,∠EBD與∠A′BD折疊重合,所以∠EBD=∠A′BD.
所以∠CBA′ + ∠A′BD =∠ABA′ +∠A′BE =(∠ABA′ + ∠A′BE) = × 180° = 90°.
動(dòng)手操作題是近幾年中考試題里的熱點(diǎn)題型,折疊前后能夠重合的角(或線段)分別對應(yīng)相等. 本題可以通過實(shí)際操作折紙過程來猜測∠CBD的大小,然后來驗(yàn)證.
線段的相關(guān)知識是容易掌握的,而角相對于線段來說要復(fù)雜一些,用處理線段問題的類似方法來解決角的問題,可以促進(jìn)問題的轉(zhuǎn)化. 用類比推理法解決數(shù)學(xué)問題,可以幫助同學(xué)們由已建立起的知識結(jié)構(gòu)來構(gòu)造新的知識結(jié)構(gòu),以探求未知的領(lǐng)域,培養(yǎng)創(chuàng)新意識.
1. 如圖9,B、C在線段AD上,且AB = CD,則AC與BD的大小關(guān)系是().
A. AC>BD B.AC = BD
C.AC 2. 若AB = MA + MB,AB A. 點(diǎn)M、N均在線段AB上 B. 點(diǎn)M、N均在線段AB外 C.點(diǎn)M在線段AB上,點(diǎn)N在線段AB外 D. 點(diǎn)N在線段AB上,點(diǎn)M在線段AB外 3. 請你仔細(xì)觀察圖10,找出∠AOC、∠BOE和∠BOD的大小關(guān)系. 4. 把兩個(gè)三角尺按圖11那樣拼在一起,試確定圖中∠B、∠E、∠BAD和∠DCE的度數(shù)及其大小關(guān)系. 5. 已知線段AB = 8,平面上有一點(diǎn)P. (1)若AP = 5,則PB等于多少時(shí),P在線段AB上? (2)當(dāng)P在線段AB上,并且PA = PB時(shí),試確定P點(diǎn)的位置,并比較PA + PB與AB的大小. 6. 如圖12,∠ABC是平角,過點(diǎn)B任作一條射線BD將∠ABC分成∠DBA與∠DBC.當(dāng)∠DBA是什么角時(shí),下列式子成立. (1)∠DBA<∠DBC; (2)∠DBA>∠DBC; (3)∠DBA = ∠DBC. 7. 拿一張長方形紙片,按圖13所示的方法折疊一角,得到折痕EF,如果∠1 = 40°,那么∠2比∠1大多少度? 8. 如圖14,有A、B、C、D四個(gè)村莊,為了解決當(dāng)?shù)厝彼畣栴},政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池,不考慮其他因素,請確定蓄水池所在位置的點(diǎn)H,使它與四個(gè)村莊的距離和最小. 注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)北師大版2008年10期