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        幾種常見的概率計算問題

        2008-11-11 10:02:10姜強柱
        關(guān)鍵詞:樹狀小亮扇形

        姜強柱

        解概率問題如果是一次操作問題,一般直接用公式法;如果是兩次操作問題,一般用列表法或畫樹狀圖法都可以解答;如果是三次操作問題,用畫樹狀圖法較易解答.

        一、游戲類問題

        例1 圖1是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個裝置,裝置A,B的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個面積相等的扇形.裝置A上的數(shù)字分別為1,6,8,裝置B上的數(shù)字分別是4,5,7,這兩個裝置除表面數(shù)字不同外,其他結(jié)構(gòu)相同.現(xiàn)在你和另一個人分別同時用力轉(zhuǎn)動A,B兩個轉(zhuǎn)盤上的箭頭.規(guī)定箭頭停留在較大數(shù)字的一方獲勝(若箭頭停在界線上,再重轉(zhuǎn)一次,直到不停在界線上為止),那么你會選擇哪個裝置?為什么?

        解析: 這是兩次操作問題,所以用列表法.把所有可能得到的數(shù)字組合列成下表:

        由表知P(A>B)= ,P(B>A)= ,所以選擇A裝置.

        例2 (濟寧市)如圖2,將轉(zhuǎn)盤等分成六個扇形,并在上面依次寫上數(shù)字1,2,3,4,5,6.指針的位置固定,自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,當(dāng)它停止時,指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率是(指針指向兩個扇形的交線時,當(dāng)做指向右邊的扇形)______,請你利用這個轉(zhuǎn)盤設(shè)計一個游戲,當(dāng)自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時,指針?biāo)竻^(qū)域的概率為 .

        解:指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率是P= = .

        游戲設(shè)計:① 將1和2所在的扇形涂成紅色,3和4所在的扇形涂成黃色,5和6所在的扇形涂成綠色,則指針指向紅色或黃色或綠色區(qū)域的概率都為 .② 分別將1和4所在的扇形涂成紅色,2和5所在的扇形涂成黃色,3和6所在的扇形涂成綠色,則指針指向紅色或黃色或綠色區(qū)域的概率為 .

        例3 (遼寧?。┧膹堎|(zhì)地相同的卡片如圖3所示,將卡片洗勻后,背面朝上放置在桌面上.

        (1) 求隨機抽取1張卡片,恰好得到數(shù)字2的概率.

        (2) 小貝和小晶用以上4張卡片做游戲,規(guī)則見圖4,你認(rèn)為這個游戲公平嗎?請用列表或畫樹狀圖法說明理由;若不公平,請你修改規(guī)則,使游戲變得公平.

        解析: (1) 是一次操作問題,可直接用公式.(2) 是兩次操作問題,要用列表法或畫樹狀圖法.

        (1) P(恰好得到數(shù)字2)= = .

        (2) 根據(jù)題意畫樹狀圖如圖5.

        從樹狀圖中可以看出所有可能的結(jié)果共16種,不超過32的兩位數(shù)有10個,超過32的兩位數(shù)有6個.

        P(不超過32)= = ;

        P(超過32)= = .

        因為二者不相等,所以游戲不公平.

        修改規(guī)則:① 組成的兩位數(shù)中,若個位數(shù)字是2,小貝勝,反之小晶勝.這樣能使游戲公平.

        ② 抽到的兩位數(shù)不超過32的得3分;抽到的兩位數(shù)超過32的得5分.這樣能使游戲公平.(有多種修改方法,僅舉兩種)

        二、綜合計算題

        例4 (沈陽市)如圖6,A,B,C是三個幾何體,設(shè)正對我們的方向為它們的正面.設(shè)A,B,C三個幾何體的主視圖分別是A1,B1,C1,左視圖分別是A2,B2,C2,俯視圖分別是A3,B3,C3.

        (1) 請你分別寫出A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3圖形的名稱.

        (2) 小剛先將這9個視圖分別畫在大小、形狀完全相同的9張卡片上,并將畫有A1,A2,A3的3張卡片放在甲口袋中,畫有B1,B2,B3的3張卡片放在乙口袋中,畫有C1,C2,C3的3張卡片放在丙口袋中,然后由小亮隨機從這三個口袋中分別取出1張卡片.

        ① 通過補全圖7的樹狀圖,求出小亮隨機抽取3張卡片上的圖形名稱都相同的概率;

        ② 小亮和小剛做游戲,游戲規(guī)則規(guī)定:在小亮隨機抽取的3張卡片中,只有2張卡片上的圖形名稱相同時,小剛獲勝;3張卡片上的圖形名稱完全不同時,小亮獲勝.這個游戲?qū)﹄p方公平嗎?為什么?

        解析: 這是三次操作問題,用樹狀圖是解決問題的最有效辦法.

        (1) 由已知可得A1,A2是矩形,A3是圓;B1,B2,B3都是矩形;C1是三角形,C2,C3是矩形.

        (2) ① 補全樹狀圖如圖8.

        由樹狀圖可知,共有27種等可能的結(jié)果,其中3張卡片上的圖形名稱都相同的有12種.所以3張卡片上的圖形名稱都相同的概率是 = .

        ② 游戲?qū)﹄p方不公平.由①可知,3張卡片中只有2張卡片上的圖形名稱相同的概率是 ,即P(小剛獲勝)= ;3張卡片上的圖形名稱完全不相同的概率是 = ,即P(小亮獲勝)= .

        注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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