賈鵬飛

四條首尾相接的線段組成的圖形叫做四邊形.組成四邊形的四條線段,叫做四邊形的四條邊.按照四條邊是否共面,可以把四邊形分為兩類:四條邊在同一平面內(nèi)的四邊形叫做平面四邊形;四條邊不在同一平面內(nèi)的四邊形叫做空間四邊形.例如,把一張方形的紙鋪平,它的四邊就組成一個(gè)平面四邊形;把這張紙沿對(duì)角線折一下,使對(duì)角線兩旁的部分不在同一平面內(nèi),這張紙的四條邊就組成了一個(gè)空間四邊形(如圖1).初中數(shù)學(xué)中主要討論平面四邊形.

畫出平面四邊形的任意一條邊所在直線時(shí),如果整個(gè)四邊形都在直線的同側(cè),則它是凸四邊形(如圖2(1));否則它是凹四邊形(如圖2(2)).初中數(shù)學(xué)中討論的四邊形主要是凸四邊形.

對(duì)于一般的四邊形,四條邊只要能夠首尾相接即可,并無(wú)其他關(guān)于邊的位置或長(zhǎng)短的要求.梯形?平行四邊形?矩形?菱形?正方形則不僅都是四邊形,并且各自滿足一定的附加條件.像這樣滿足一定附加條件的四邊形稱為特殊的四邊形.進(jìn)一步可以看出,矩形?菱形和正方形又是滿足一定附加條件的平行四邊形,即它們是特殊的平行四邊形.

課本在給出一種圖形的定義后,會(huì)繼續(xù)討論由這個(gè)定義能進(jìn)一步推出哪些結(jié)論,即得出這種圖形的一些性質(zhì).這些性質(zhì)往往是經(jīng)常用到的主要性質(zhì).這種圖形很可能還有一些其他性質(zhì),課本則未曾涉及.例如,平行四邊形除具有課本中所說(shuō)的“對(duì)邊平行且相等”,“對(duì)角相等”,“對(duì)角線互相平分”等主要性質(zhì)之外,還有“對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和”這個(gè)性質(zhì).它可以證明如下.

如圖3,作ABCD的高線DE,CF. 利用全等三角形可以證明AE=BF.

AC²=AF²+CF²=(AB+BF)2+BC²-BF²=AB²+BC²+2AB·BF,①

BD²=BE²+DE²=(AB-AE)2+DA²-AE²=AB²+DA²-2AB·AE.②

∵AB=CD,AE=BF,

∴①+②,得AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA².

實(shí)際上,圖形的所有性質(zhì)都是由圖形定義所確定的.雖然定義本身并未直接表述出所有性質(zhì),但是定義中已經(jīng)隱含了它們.故而以定義為出發(fā)點(diǎn),可以逐步推導(dǎo)出所有性質(zhì).

是不是只要一種圖形有某條性質(zhì),就可以反過(guò)來(lái)把這條性質(zhì)當(dāng)成這種圖形的一個(gè)判定條件呢?不是!并非一種圖形的每個(gè)性質(zhì)都可以拿來(lái)作為這種圖形的判定條件.例如,正方形具有“對(duì)邊平行,鄰邊相等”的性質(zhì),但是僅根據(jù)一個(gè)四邊形滿足“對(duì)邊平行,鄰邊相等”不能判定它是正方形,而只能判定它是菱形.

然而,“對(duì)邊平行,鄰邊相等,鄰角相等”是正方形所獨(dú)有的性質(zhì),因此它能作為正方形的判定條件.又如,矩形具有“對(duì)角線相等”的性質(zhì),但是僅根據(jù)一個(gè)四邊形的“對(duì)角線相等”并不能判定這個(gè)四邊形是矩形.等腰梯形和圖4中的箏形都是對(duì)角線相等的四邊形,但它們不是矩形.如果一個(gè)四邊形“對(duì)角線相等”且“對(duì)邊平行”,則它一定是矩形,即一個(gè)四邊形“對(duì)邊平行,對(duì)角線相等”可以作為矩形的一個(gè)判定條件.總之,一種圖形的判定條件,必須是只有這種圖形才能夠滿足的條件.